偏微分を使う極値問題の回答をお願いします。

質問

偏微分を使う極値問題の回答をお願いします。

以下の問題を本で調べたのですがわからなかったので回答をお願いします。

f(x,y) = x^3 + xy^2 + 4xy

z = f(x,y)の極値を求めたいのです。

よろしくお願いいたします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

fx(x,y)=3x^2+y^2+4y,fy(x,y)=2xy+4x
停留点候補
fx(x,y)=0,fy(x,y)=0から
[x=0,y=-4],[x=0,y=0],[x=-2/√3,y=-2],[x=2/√3,y=-2]

fxx(x,y)=6x,fyy(x,y)=2x,fxy(x,y)=2y+4

[x=0,y=-4]の場合
A=fxx(0,-4)=0,B=fxy(0,-4)=-4,C=fyy(0,-4)=0,D=B^2-AC=16
判別式D>0なので　極値を持たない。鞍点。

[x=0,y=0]の場合
A=fxx(0,0)=0,B=fxy(0,0)=4,C=fyy(0,0)=0,D=B^2-AC=16
判別式D>0なので　極値を持たない。鞍点。

[x=-2/√3,y=-2]の場合
A=fxx(-2/√3,-2)=-4√3,B=fxy(-2/√3,-2)=0,C=fyy(-2/√3,-2)=-4/√3,D=B^2-AC=-16
A<0,判別式D<0なので　極大値=f(-2/√3,-2)=(16/9)√3

[x=2/√3,y=-2]の場合
A=fxx(2/√3,-2)=4√3,B=fxy(2/√3,-2)=0,C=fyy(2/√3,-2)=4/√3,D=B^2-AC=-16
A>0,判別式D<0なので　極小値=f(2/√3,-2)=-(16/9)√3

解説は参考URLをご覧下さい。

参考URL：

http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/10kaisk/101ksk.html

お礼

丁寧な説明だけでなく参考URLまで張ってくださったおかげで勉強になりました。
ありがとうございました。