陰関数の微分について

質問

陰関数の微分についてよくわからないところがあるので質問します。
R^2の開集合U上で陰関数f(x,y)=0
(f:R^2→RでfはU上C^1級)が与えられているとする。
両辺の微分を取ると、(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy=0となる。という記述がありますが、いまいち理解できません。なぜなら、f(x,y)はU上定義されている関数で微分を取ることはわかりますが、右辺の0はここでは
U上恒等的に0、すなわち関数として0という意味ではないので,
右辺の微分を取って等式とするのは変だと思ったからです。
ここを納得するにはどう考えればよいのでしょうか。

回答No.11

kts2371148 · ベストアンサー

＃９です。
質問者さんの疑問が解けるためには、とりあえずは、
「両辺を」全微分するという考え方をしない方がよさそうです。

まず、z = x^2 + y^2 - 1 を図形的に頭の中でイメージして下さい。
次に、z を全微分して、dz = 2x dx + 2y dy を頭の中でイメージして下さい。

次に、その図形を平面 z = 0 で切断した状態を頭の中でイメージして下さい。
x , y がこの平面上で、x^2 + y^2 - 1 = 0 を満たす範囲を自由に移動しても、
z は全く変化しません。つまり、dz = 0 です。
（数式的に言えば、z = 0 を全微分すれば dz = 0 dx + 0 dy であることと同じです。）

さて、z = x^2 + y^2 - 1 かつ z = 0 を満たす図形上では、
dz = 2x dx + 2y dy = 0 です。
したがって、dx と dy の間に何らかの関係があることになります。
これは、陰関数の微分をしたのと同じことになります。

（上記の説明で、実はこっそり両辺を全微分しています。）

多変数でも、同じことが言えます。
まず、z = f(x1,x2,...,xn,y) を頭の中でイメージして下さい。
次に、z を全微分して、dz = f_x1 dx1 + f_x2 dx2 + … + f_xn dxn + f_y dy を
頭の中でイメージして下さい。

次に、その図形を超平面 z = 0 で切断した状態を頭の中でイメージして下さい。
x1,x2,...,xn,y がこの超平面上で、f(x1,x2,...,xn,y) = 0 を満たす範囲を
自由に移動しても、z は全く変化しません。つまり、dz = 0 です。

さて、z = f(x1,x2,...,xn,y) かつ z = 0 を満たす図形上では、
dz = f_x1 dx1 + f_x2 dx2 + … + f_xn dxn + f_y dy = 0 です。
したがって、dx1,dx2,...,dxn,dy の間に何らかの関係があることになります。
これは、多変数における陰関数の全微分をしたのと同じことになります。

お礼

なるほど、なんかわかったような気がします。丁寧な回答どうもありがとうございました。

回答No.10

Meowth

曲線上で微分を定義
こそ陰関数の微分で、
f(x,y)=0
の関係があるxとyを微分するだけです
（最初にｆの全微分＝2変数の偏微分をもちだすから
ややこしくなるだけです）
xがdx　変化したとき、f(x,y)=0の関係からdyを
計算すれば、その比が　dy/dxになるだけです。
このとき、別に関数外f(x,y)<>0は関係ありません。

お礼

>xがdx　変化したとき、f(x,y)=0の関係からdyを
>計算すれば、その比が　dy/dxになるだけです。

このdy/dxが陰関数のその点における微分係数に何故等しくなるのかが良くわかりません。f(x,y)ならば接平面のxy平面における切り口
がその点の周りの陰関数の接線になっているようなのでなんとなくわかりますが、一般的な次元、例えばf(x1,....xn,y)=0としたときそれが正しいのかわかりません。どう考えればよいのでしょうか

回答No.9

kts2371148

陰関数の微分については私はあまり詳しくない
（質問者さんよりも知らないかもしれない）のですが、回答してみます。

しばらく考えてみて、質問者さんの疑問の意図がわかりました。
f(x,y) = x^2 + y^2 - 1 = 0 を例にして考えてみます。

x^2 + y^2 - 1 = 0 の両辺を全微分してみます。
左辺の全微分は、2x dx + 2y dy です。
右辺の全微分は、0 dx + 0 dy です。
というわけで、
　2x dx + 2y dy = 0 dx + 0 dy
が得られます。
この式を見ると、2x = 0 , 2y = 0 であるかのように見えます。
それで、
>> U上恒等的に0、すなわち関数として0という意味ではないので,
>> 右辺の微分を取って等式とするのは変だと思ったからです。
という疑問が出てくるのも理解できます。

では、ここで視点を変えてみます。
z1 = x^2 + y^2 - 1 , z2 = 0 とおきます。
そして、z1 = z2 であるものとします。
すると、左辺は恒等的に x^2 + y^2 - 1 であり、右辺は恒等的に 0 です。
でも、z1 = z2 は恒等的には成り立ちません。
成り立つのは、(x,y) が単位円周上にある場合だけです。

次に、問題の全微分をしてみましょう。
全微分すると、
　dz1 = 2x dx + 2y dy
　dz2 = 0 dx + 0 dy
になります。
この２式は恒等的に成り立ちます。
しかし、dz1 = dz2 は恒等的には成り立ちません。

というわけで、左辺も恒等的に *** であり、右辺も恒等的に @@@ ですが、
左辺 = 右辺は恒等的には成り立たないわけです。

でも、これですべて疑問が解決するわけではないようですね。
>> 断面はイメージしたのですが良くわかりません。
>> 断面の上ではz=0ですが、良くわからないのはdz=0です。
ということですから。

まず、z = x^2 + y^2 - 1 を図形的にイメージすると、
放物線 z = x^2 - 1 を z 軸の周りに回転させて得られる図形です。
（ここはお分かりだと思います。）
そして、z = 0 が成り立つのは、点 (x,y) が単位円周上にある場合だけです。

次に、z = x^2 + y^2 - 1 を全微分すると、
dz = 2x dx + 2y dy となります。
これは図形的に言えば、放物線 z = x^2 - 1 を
z 軸の周りに回転させて得られる図形上の、
点 (x,y) における接平面の傾きを表しています。

さて、dz = 0 が成り立つのはどのような場合でしょうか？
(x,y) = (0,0) において成り立つのは明白です。
しかし、それ以外の場合についてはどうでしょうか？

どんな dx,dy の組み合わせに対しても成り立つのは、
(x,y) = (0,0) の場合だけです。
しかし、dx と dy に何らかの関係があるときには、
(x,y) = (0,0) でなくでも、dz = 0 が成り立つ場合があります。

まず、図形的なイメージで説明します。
x,y を任意の実数とします。
そして、点 (x , y , x^2 + y^2 - 1) における接線を、
z の変化量が０となるように引きます。
これは、dx と dy に関係があるならば、
dz = 0 が成り立つことを示しています。

これは、数式的に言えばこうなります。
2x dx + 2y dy = 0 であれば、dz = 0 が成り立ちます。
したがって、εを微小量としたときに、
dx = yε , dy = -xε であれば、dz = 0 が成り立ちます。
ここで、dx と dy は、図形的に言えば接線の傾きを表しているわけです。

お礼

一応僕もそのように考えたのですが、よくわからないのは、
2x dx + 2y dy = 0 からdy=-(x/y)dx((x^2)+(y^2)=1上でy≠0が成り立つ点)としたとき、なぜこのdyが陰関数の(x,y)における微分になるのかということです。f(x,y)なら図を描いてなんとなくわかりますが、変数の多いとき、すなわちf(x1,x2,...,xn,y)=0のようなときも
陰関数定理が成り立つ点で両辺を微分して(右辺は0とする)
dx1,....dxn,dyの方程式にしてdyをdx1,.....dxnの和として表したときになぜこのdyが陰関数の
全微分に等しくなっているのかわかりません。一般的な次元で考えるときはどう解釈すればよいのでしょうか。

回答No.8

Meowth

R^2において定義された接平面の方程式z-f(x0,y0)=(∂f/∂x)(x0,y0)*(x-x0)+(∂f/∂y)(x0,y0)*(y-y0)を(x0,y0)における微分

R^2で定義するからこうなるので、
定義域を限定して定義するなら、
曲線上で微分を定義するだけです。
そのときには当然、曲線外への微分は意味がありません。

自分で定義域を限定しておいて、もとのR^2の定義を使おうとするから
混乱しているのでは。

お礼

>R^2で定義するからこうなるので、
>定義域を限定して定義するなら、
>曲線上で微分を定義するだけです。
>そのときには当然、曲線外への微分は意味がありません。

曲線上で微分を定義するとは、どのようにすればよいのでしょうか。

回答No.7

Meowth

(f:R^2→RでfはU上C^1級)が与えられている
ｆはいたるとこと全微分可能
f(x,y)=0 上の点　f(x0,y0)
でも全微分可能
(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy
存在する。（当然＝０とは限らない）
ここで、dx,dyのとり方は任意（の微分）
すなわち、任意の方向に微分可能ということです。

ここで、dx,dyとして、f(x、y)＝0
接線方向に限定することも当然可
その方向に微分すれば、(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy＝０
ということで、
問題ないと思います。
（通常は、逆に接線方向の微分しか与えられない場合に、
全微分可能かどうかが議論の対象になりますが）
今回の問題は全微分可能が条件なので、接線方向の微分も
当然存在する。それだけだと思います。

fの定義域をUではなくU内のf(x,y)=0を満たす点のみに限って考えたときの話
という表現が、最初の仮定と矛盾すると思いますよ。
繰り返しになりますが、fの全微分性を疑っているからこういう問題の立て方になるのでは。

うえの　”通常”の問題を考えていることになるのではないでしょうか
それでも
fの定義域をUではなくU内のf(x,y)=0
といってしまえば、fは　f(x,y)=0以外への微分を考えること自体意味がなくなり、（f(x,y)=0上にいる人たちでかってに考えて）ということになります。
もし、そとに出たいのなら、定義域を拡張して、f<>0でも　ｆは定義しておかないといけないのでは。

お礼

>(f:R^2→RでfはU上C^1級)が与えられている
>ｆはいたるとこと全微分可能
>f(x,y)=0 上の点　f(x0,y0)
>でも全微分可能
>(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy
>存在する。（当然＝０とは限らない）
>ここで、dx,dyのとり方は任意（の微分）
>すなわち、任意の方向に微分可能ということです。
そのとおりですね。

>ここで、dx,dyとして、f(x、y)＝0
>接線方向に限定することも当然可
>その方向に微分すれば、(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy＝０
>ということで、
>問題ないと思います。

ここがわかりません。なぜなら、「微分」dfの定義は、手持ちの教科書では「f(x,y)が点(x0,y0)で微分可能のとき、R^2において定義された接平面の方程式z-f(x0,y0)=(∂f/∂x)(x0,y0)*(x-x0)+(∂f/∂y)(x0,y0)*(y-y0)を(x0,y0)における微分といい、df=z-f(x0,y0),
dx=x-x0,dy=y-y0とおいて、
df=(∂f/∂x)(x0,y0)dx+(∂f/∂y)(x0,y0)dyで表す。」
と書いてあります。要するに、接平面の方程式をdf=(∂f/∂x)dx+
(∂f/∂y)dyと表しているということですが、この定義だと、
(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy＝0という意味が、dfがR^2上で定義され、
0を取る関数(一次写像)に等しいということになってしまって、わからなくなるのです。

微分df=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dyの意味を、単に(x0,y0)からベクトル(dx,dy)動かした点(x0+dx,y0+dy)におけるfの増分、すなわち
f(x0+dx,y0+dy)-f(x0,y0)と考えれば、(x0+dx,y0+dy)がf(x0+dx,y0+dy)=0のとなるように(dx,dy)を選べば、常に
df=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy=0となるのはわかりますが、
微分は写像であると定義されているのでわからなくなってしまいます。どう考えればよいのでしょうか。

回答No.6

Meowth

今回の質問の場合は(f:R^2→RでfはU上C^1級)
なので、全微分可能
(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy
が存在するので、
>領域上の任意の点のどんな近傍もこの定義域に含まれていないので
微分を考えるということはできないのではないかと思いました。
ということはないでしょう。
ということで、　問題の説明はｆの全微分可能を前提にしているので
(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy=0
は当然と思います。
質問者が問題にしているのは、全微分ができないときはどうなるのか
ということではと思いますが、どうでしょうか。

お礼

いえいえ、それはfの定義域をUではなくU内のf(x,y)=0を満たす点のみに限って考えたときの話です。fをU上で考えれば、Uの各点はUの内点なので、ｆが微分可能であるかどうかを考えることができます。
僕が疑問に思うのは、fがU上でf≡0であれば(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy=0は自明ですが、そうでないとき、陰関数f(x,y)=0を満たす点はU全体に比べればはるかに狭い領域です。その領域内に絞って考えればf≡0ですが、fの全微分をある点((x(0),y(0))で考えるとき、その点の近傍、すなわちあるε>0に対するU((x(0),y(0)),ε)(U((x,y),ε)={(x,y)∈R^2|√(((x-x(0))^2)+((y-y(0))^2))<ε}がfの定義域に含まれていないといけないと思いますが・・。ある点の近傍とはこのようなことがいえる点ではないのでしょうか。

例えば、R^2上でf(x,y)=(x^2)+(y^2)-1を満たす点は単位円周ですが、この円周上での任意の点(x,y)において、どんなε>0に対する
上に書いたU((x,y),ε)上でもf(x,y)≡0ではありません。なので、
この点(x,y)で全微分を考えるにしても、(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy=0
とするのは変だと思うのですが・・。

補足

それとも、こう考えればよいのでしょうか。U上C^1級の陰関数f(x,y)=0が与えられているとき、U内でf(x0,y0)=0,(∂y/∂x)(x0,y0)≠0を
満たす点(x0.y0)が存在すれば、陰関数定理により、x0の適当な近傍で一意的な陰関数が存在するので、この近傍をVとし、陰関数をgと置くとf(x,g(x))=0(x∈V)を満たす。両辺の全微分を取ると合成関数の微分から(∂f/∂x)(x,g(x))dx+(∂f/∂y)(x,g(x))*g'(x)dx=0
ここでy=g(x)の全微分dy=g'(x)dxより
(∂f/∂x)(x,y)dx+(∂f/∂y)(x,y)dy=0(x∈V)となる。

しかし、こう考えると結果はf(x,y)=0を普通に微分したものと同じ
ですが、上の結果は陰関数を陽に表示してfをxの(一変数の)合成関数
から全微分したもので、f(x,y)=0の両辺を普通に微分したものとの意味とは違うと思います。なぜなら、この式の左辺のf(x,y)の全微分という意味は二つの独立変数x,yの関数として全微分するということで、f(x,g(x))と考えたときのようにyがxに拘束されているということ意味が全く違うからです。

回答No.5

noname#57316

>集合(x^2)+(y^2)-1=0の点は全て境界点なのでどんなε-近傍も含まないから微分を考える
>ことはできない・・・・
ε-近傍の取り方ですが、xの近傍、x+εにおいて、y+(dy/dx)・ε　をyの近傍とすることが
できれば、(x+dx,y+dy)も集合(x^2)+(y^2)-1=0　に含まれると考えることができると思いますが
如何でしょうか。

お礼

え、そんなことができるのですか？ある関数がある点で全微分可能であるということは、ある近傍、すなわちその点がその関数の定義域の内点になっていないと定義されないと思ったのですが・・。

回答No.4

noname#57316

>f(x,y)=(x^2)+(y^2)-1の定義域を単位円周上に狭めて考えればこの上でf(x,y)≡0ですが、この
>領域上の任意の点のどんな近傍もこの定義域に含まれていないので・・・・
f(x,y)=(x^2)+(y^2)-1の定義域を単位円周上に狭めた場合でも、(x,y)の近傍、(x+dx,y+dy)は、
定義域にあることになりませんか。

お礼

ある点(x(0),y(0))の近傍とは、あるε-近傍を含むということですが
集合(x^2)+(y^2)-1=0の点は全て境界点なのでどんなε-近傍も含まないから微分を考えることはできないと思いますがどうでしょう。

回答No.3

Meowth

^2の開集合U上で
右辺の0は恒等的に0、すなわち関数として0
です。

お礼

答えていただきありがとうございます。
そう考えると明らかですが、どうもそんな感じがしないので不安になって投稿しました。もしもU上f(x,y)≡0ならば、U内の任意のxに対して陰関数となるyは無数に存在するので陰関数を考える意味がないのではと思いました。

回答No.2

noname#57316

f(x,y)=0　は、xとyがどのような関係にあるかを表わす式です。
f(x,y)　は、x、yによって定まる他の変数の値です。

「R^2の開集合U上で陰関数f(x,y)=0」と書かれているので、今問題にされているのは前者で
ｘとｙを結びつける一つの式ですから、dy/dx=・・・・とは書けなくても、(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy=0
とは書けるのです。

お礼

答えていただきありがとうございます。
考えてみましたが良くわかりません。例えば、R^2上で陰関数
(x^2)+(y^2)-1=0が与えられたとすると、これを満たす点(x,y)は単位円周上にありますが、これ以外の点では(x^2)+(y^2)-1≠0なので、
R^2上全体で(x^2)+(y^2)-1≡0というわけではありません。なので、
両辺を（全）微分して2xdx+2ydy=0としたりするのはどうも腑に落ちないという感じです。(全）微分という操作はある開集合上で定義された関数に対して行うものなので,f(x,y)=0の意味が関数として等しいという意味ならばわかるのですが・・。f(x,y)=(x^2)+(y^2)-1の定義域を単位円周上に狭めて考えればこの上でf(x,y)≡0ですが、この
領域上の任意の点のどんな近傍もこの定義域に含まれていないので
微分を考えるということはできないのではないかと思いました。

要するに、f(x,y)=0の両辺の微分を取って、(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy=0とするには、微分をする点(x,y)の適当な近傍上でf(x,y)≡0となっていなくてはいけないと思ったのですが、どうでしょうか。

回答No.1

joggingman

z=f(x,y)=0と考えて、
空間図形のz=0での断面をイメージしてみるのはどうでしょう？
z=0,dz=0にはなっていると思います。

お礼

回答ありがとうございます。断面はイメージしたのですが良くわかりません。断面の上ではz=0ですが、良くわからないのはdz=0です。なぜdz=0か教えていただければありがたいです。