陰関数の第２次導関数の証明方法

質問

陰関数の第２次導関数の証明のやりかたなのですが、
dy/dx=-f(x)/f(y)
ですので、
d^2y/dx^2 は　d(dx/dy)/dx = d(-f(x)/f(y))/dx
となり、後は
f(x)/f(y)を微分するだけなのはわかるのですが、
一般的な微分公式にあてはめた場合、
-f(xx)f(y)×f(yx)f(x)/f(y)^2
と成るはずなのですが、
答えは
d^2y/dx^2=-( f(xx)f(y)^2-2f(xy)f(x)f(y)+f(yy)f(x)^2 )/ f(y)^3
となり、途中の計算課程が分かりません。
私は何の認識を誤っているのでしょうか？
詳しく教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

proto · ベストアンサー

解き方の方針は合っています。
しかし、結論から言うと
　　(d/dx)Fx = Fxx
　　(d/dx)Fy = Fyx
は成り立たないのです。

多変数関数の合成関数の微分を思い出しましょう。
2変数関数F(x,y)のx,yがそれぞれtの関数であるとき、F(x(t),y(t))をtで微分すると、
　　dF/dt = (∂F/∂x)*(dx/dt) + (∂F/∂y)*(dy/dt)
となりますね。
今回、yはxの関数ですから、先ほどのtがxになったと思って、F(x,y(x))をxで微分してみましょう。
　　dF/dx = (∂F/∂x)*(dx/dx) + (∂F/∂y)*(dy/dx)
　　　　　= Fx*1 + Fy*(dy/dx)
　　　　　= Fx + Fy*(dy/dx)
となりますね。

では本題に戻ります。
FxもFyもx,yについての2変数関数で、さらにyはxの関数ですから、Fx,Fyをxで微分しようと思ったら、合成関数の微分法を適用しなければなりません。
すなわち、
　　(d/dx)Fx = Fxx + Fxy*(dy/dx)
　　(d/dx)Fy = Fyx + Fyy*(dy/dx)
とするのが正しいのです。
この考え方で、 d(-f(x)/f(y))/dxの右辺を根気よく整理していけば正しい式にたどり着くと思いますよ。

お礼

ご解答ありがとうございました。
とてもわかりやすく、解答までスッキリと導けました。
確かに合成関数の偏微分法を忘れていて、
自分の弱点も見つけられました。

ありがとうございました。