- ベストアンサー
偏微分の問題？
x, y, z の時間微分を： dx/dt = f(x,y,z) dy/dt = g(x,y,z) dz/dt = h(x,y,z) とします。この時、 x = f(xx, y, z) ...(1a) yy = f(xx, y, z) ...(1b) zz = f(xx, yy, z) ...(1c) ∂x /∂xx ＝ (∂yy/∂y)(∂zz/∂z) ...(2) (1)かつ(2)を仮定すると df/dx + dg/dy + dh/dz = 0 を簡単に示すことができるのだそうです。 ・・・なぜでしょうか？
- white-tiger
- お礼率43% (1031/2391)
- 数学・算数
- 回答数3
- ありがとう数1
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
- ベストアンサー
>∂x /∂xx ＝ (∂yy/∂y) zz/z ...(2) それでも、私の例は反例になってるような気がするんですけど? 私の例が本当に反例になっているかどうか確かめていただけましたか?
その他の回答 (2)
>(1) を間違えていました。 >以下の通りです。 >x = f(xx, y, z) ...(1a) >yy = g(xx, y, z) ...(1b) >zz = h(xx, yy, z) ...(1c) それでも、私の例は反例になってませんか?
補足
すみません。もうひとつ、ミスです。 ∂x /∂xx ＝ (∂yy/∂y) zz/z ...(2) でした。すみません。
xとxxは別の変数ですよね？ その前提で、明らかに反例があります。 f(x,y,z)=x g(x,y,z)=y h(x,y,z)=z とすると、(2)の両辺は1なので(2)を満たしますが、 df/dx + dg/dy + dh/dz=3なので 成り立ちません。
補足
(1) を間違えていました。 以下の通りです。 x = f(xx, y, z) ...(1a) yy = g(xx, y, z) ...(1b) zz = h(xx, yy, z) ...(1c)
関連するQ&A
- 偏微分
偏微分を用いて、全微分をするとき 例えばx,y,zの時間に依存する変数からなる関数f(x,y,z)を時間で全微分する時、 df/dt=(df/dx)(dx/dt)+(df/dy)(dy/dt)+(df/dz)(dz/dt) となると思うのですが、 仮に、x,を時間だけでなく、もう一つ時間に依存する関数n（t)を与えるとします、 つまり X=x+n(t) f(x) => f(X)=f(x+n(t)) になるとします。 その時、時間の全微分はどうなるのでしょうか？ f(x+n(t))はxとn(t)に依存しているので、f(x,n(t))と書いて f(x+n(t))=f(x,n(t)) df(x+n(t))/dt=(df(x,nt)/dt)=(df/dx)(dx/dt)+(df/dn)(dn/dt) としてもいいんでしょうか？ 後どのような時、偏微分しても可能なのか教えて頂ければ幸いです。 どなたか分かる方よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 二階の全微分について
物理でxyの座標を極座標に変換し加速度を計算するなかで、2階の全微分に困っています。あまり、微分積分は慣れていないので、丁寧に教えていただけると助かります。 http://okwave.jp/qa/q2707943.html でも、同じような質問があります。 一階の全微分はわかりますが、2階の全微分で項が増えるのがわかりません。 具体的には、 Z=f(X,Y), X=g(t) Y=h(t)で、 dZ/dt＝(∂Z/∂x)dx/dt+(∂Z/∂y)dy/dt まではよくわかり、これを二階にするときはまず、第1項目(∂Z/∂x)dx/dtが {∂/∂x(∂Z/∂x)dx/dt}dx/dt+{∂/∂y(∂Z/∂x)dx/dt}dy/dt となるだと思うのですが、(∂Z/∂x)d/dt(dx/dt)という項も加わるようです。詳しくその考え方を教えていただけますでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 全微分の問題です。合ってるかどうか分かりません。確かめてください。お願いします。
次の関数の全微分を求めよ。 (1) z=1/(√x^2+y^2) 解：dz=-x/{√(x^2y^2)^3}dx-y/{√(x^2y^2)^3}dy (2) z=tan^-1(x^2+y^2) 解：dz=2x/{(x^2+y^2)^2+1}dx+2y/{(x^2+y^2)^2+1}dy (3) z=exp(1/x^2+y^2) 解：dz=-[2x/{(x^2+y^2)^2}]e^{1/(x^2+y^2)}dx-[2x/{(x^2+y^2)^2}]e^{1/(x^2+y^2)}dy
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式の質問です
連立微分方程式の問題です dx/dt=-x+z dy/dt=-2x+y+z dz/dt=x-y+2zの一般解を求めろという問題です。 よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 問題がおかしいのでしょうか？「第２次導関数、全微分」
全くわからず、ずっと手が止まっています。 z=f(x,y),x=acost,y=bsintのとき、 zをtの関数と見てz'(0)を求める問題です。 ですが、偏微分(∂f/∂x)と(∂f/∂y)を求めて t＝0を代入すれば答えが求まりまるはずなのに、 f(x,y)の具体的な関数形が与えられいなくてこれ以上書けません。 いったいどうすればいいのでしょうか？？ 問題がおかしいんじゃないでしょうか？？ それともさまざまな場合があるので場合分けとか？？ どうすればいいのか教えてください。 お願いします。 参考に、 dz/dt =(∂f/∂x)(dx/dt)+(∂f/∂y)(dy/dt) =(∂f/∂x)(-asint)+(∂f/∂y)(bcost) z'(0)なのでt=0より z'(0)=(∂f/∂y)(bcos0)=b(∂f/∂y) ここまでできたんですけど・・・ これが答えとか↑↑？ p.s.=「∂」って何ていうんですか？？
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ありがとうございます。そのとおりです。 df/dx dg/dy + dh/dz = 0 も写し間違えでした・・・むちゃくちゃですね もうしわけございません。