両辺の微分

質問

数IIIの教科書に、円のところで　X^2+Y^2=１　という式があって両辺をｘで微分して
dy/dxを求めるという場面があったのですが、「両辺をｘで微分」して
等式が成り立つというのがわかりません
例えばｘ＝１という式の両辺をｘで微分しても成り立たないのに
X^2+Y^2=１の両辺をｘで微分しても成り立つのがなぜかわかりません
微分は苦手なので丁寧に教えていただけると助かります

回答No.4

f272 · ベストアンサー

> どうして「等式の両辺をxで微分すれば，必ず等式が成り立つ」のでしょうか？

等式であれば左辺と右辺は等しい。等しいものに同じ操作(微分すること)を施せば等しくしかならないのは当たり前ではないですか？
もしf(x)=g(x)ならば、あらゆるxとh≠0について
(f(x+h)-f(x))/h=(g(x+h)-g(x))/h
が成り立ちます。ここでh→0とすれば極限値が存在し、
f'(x)=g'(x)が得られます。

お礼

まだ完全には理解できてはいませんが頑張ってみようと思います！
ご回答ありがとうございました！

回答No.3

f272

xとyの関係式があったときにxで微分するというのは，xの微小変化に対するyの微小変化を求めるということです。ところがあなたが例に挙げたx=1という式では，x=1と決まっているのですから，xは微小変化をすることができません。つまりxで微分することはできないということです。たとえ形式的に微分をしたとしても意味のない式です。
そういう事情がない場合には等式の両辺をxで微分すれば，必ず等式が成り立ちます。

補足

すみません、一つ気になったのですがどうして「等式の両辺をxで微分すれば，必ず等式が成り立つ」のでしょうか？当たり前のことを質問してるかもしれないですが教えていただけますでしょうか？

回答No.2

info222_

x=1なのでxは定数です。
なので微分すれば0です。
左辺の微分
d(x)/dx=d(1)/dx　← x=1を代入
=0
右辺の微分
d(1)/dx=0
したがって両辺をxで微分すると
0=0
となります。
xは定数ですので xを変化させることはできません。
d(x)=d(1)=0 → dx/dx=0/dx=0

なお
x^2+y^2=1　の場合は　xとyは変数なので xを変化させることができます。
なので
両辺をxで微分（偏微分）すると
2x+2y∂y/∂x=0
∂y/∂x=--x/y
yをxの従属関数（従属変数）とみれば
∂y/∂x=dy/dx=-x/y
となります。

お礼

ご回答ありがとうございました！

回答No.1

bran111

グラフを念頭に置きながら考えてください。
x=1というグラフはy軸に並行で傾きが定義できません。
y=1ならグラフはx軸に並行でy'=0と一致します。
X^2+Y^2=１の両辺をxで微分して
2x+2yy'=0
y'=-x/y
X^2+Y^2=１上の点(x,y)における接線の傾きが-x/yになっていることをよく確認してください。

お礼

ご回答ありがとうございました！