両辺を微分しても成り立つ理由

質問

例えば　ｘ^２＋ｙ^2=25 という式があって、この両辺をｘで微分するときの話なんですが、
両辺をかけたり、０以外の数で割ったりしても等号が成り立つのは分かるんですが
どうして微分した時も等しくなるのかいまいちはっきりしないのですが、一応思うところがあるのでこれであってるかどうか判断してもらえるでしょうか？

まず、２５はxの関数とみると定数関数なので微分しても０
次に左辺については「ｘ^２＋ｙ^2」このカッコ内で一塊とみるとこれが２５に等しいので
f(x)=ｘ^２ g(x)=ｙ^2とおいてこのカッコ内を一塊としてみて微分すると、
{f(x)+g(x)}´=f’(x)+g’(x)となるのでｘ^２＋ｙ^2=25の両辺をｘで微分すると、
２ｘ＋２ｙｙ’=0が成り立つ、という考え方であっているでしょうか？
教科書などでは、「両辺をｘで微分すると 」の後には「{f(x)+g(x)}´=f’(x)+g’(x)となるので」
というようなことが書かれていないので、理解の仕方が間違ってるのかなぁとは
思うのですが、一応判断してもらえますでしょうか？

回答No.5

noname#231195 · ベストアンサー

#3です。

>教科書は当たり前のこととして書いていないということ
そういうことでしょうね。
数学では「あたりまえのこと」としてすましていいことはないと思いますが、知っているということになっているもの、ということなのでしょう。

お礼

本当に丁寧に有難うございました
一番欲しい答えに近かったのでベストアンサーに選ばせていただきます！

回答No.4

noname#231195

#3です。
ごめん。添付の記号の使い方が違うからうpし直します。
y(x)=f(x)+g(x)
としてあります。

回答No.3

noname#231195

横から失礼。
>「{f(x)+g(x)}´=f’(x)+g’(x)という事実なくしてｘ^２＋ｙ^2=25 をｘで微分した時２ｘ＋２ｙｙ’=0ということはあり得ますか」
ありえません。
{f(x)+g(x)}´=f’(x)+g’(x)というのは導関数の基本的な性質一つで、f(x)やg(x)が微分可能ならいつでも成り立ちます。ですからあなたの考え方はあっています。

ご参考までに、添付にf(x)+g(x)}´=f’(x)+g’(x)が成り立つことを示しました。

補足

ご回答ありがとうございます！
画像まで添付していただき本当にありがたいです！
両辺の微分で{f(x)+g(x)}´=f’(x)+g’(x)のことは、教科書は当たり前のこととして書いていないということでよろしいでしょうか？

回答No.2

bran111

>２５はxの関数とみると定数関数なので微分しても０
>f(x)=ｘ^２ g(x)=ｙ^2とおいてこのカッコ内を一塊としてみて微分する

結局両辺を微分している以外の何物でもないのではありませんか。

補足

すいません、説明が悪かったかもしれません・・・
要するに聞きたいのは、「{f(x)+g(x)}´=f’(x)+g’(x)という事実なくして
ｘ^２＋ｙ^2=25 をｘで微分した時２ｘ＋２ｙｙ’=0ということはあり得ますか」という意味です

回答No.1

notnot

f(x)=g(x)という2つのxの関数（等式の両辺）が等しいと言うことは、グラフに書くと重なる（同じ線)と言うことです。
同じ線であれば、同じ点での傾きも同じです。

この場合、f(x)=x^2+y^2 （ｙは定数)、g(x)=25 ということです。