連続性のある関数を、中間値の定理に基づいて、実数解があることを示す方法がわかりません(ToT)

質問

微分積分を勉強しているのですが、全く理解できない問題がありまして・・・。

【問題】
方程式3x=2^x＋2^-xは、区間(0,1)の中に少なくとも一つの実数解をもつことを示せ。

【解答】
f(x)=3x-(2^x＋2^-x)とおけば、f(x)は全区間Rで連続であり、

f(0)=-2<0
f(1)=3-(2＋1/2)=1/2>0

である。中間値の定理(※)により、

f(x)=3x-(2^x＋2^-x)=0

であるようなxが、区間(0,1)の中に、少なくとも一つ存在する。

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※連続関数の中間値の定理
関数f(x)が、閉区間[a,b]で、連続でf(a)≠f(b)のとき、f(a)とf(b)の値kに大して、

f(c)=k

である点cが、開区間(a,b)の中に少なくとも1つ存在する。
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読みにくいと思いますので、添付ファイルもご覧にいただきたいのですが、どうしてf(x)=3x-(2^x＋2^-x)とおけば、f(x)は全区間Rで連続になるのでしょうか？

関数f(x)が「連続であるかどうか」を調べるには、例えば、f(x)をaで微分した「lim(x→a) f(x)」と、元の関数f(x)がx=aの時、すなわち「lim(x→a) f(x)=f(a)」、「f'(a)=f(a)」となる時、連続なんですよね？

ですが、f(x)=3x-(2^x＋2^-x)は、変数xが指数としてくっ付いてるので、どう微分していいのやら・・・。
なので、「全区間Rは連続であり」と言われても、全くピンときません(ToT)

どうして「<0」「>0」など、0から目線で証明を進めているのかもわかりません(>_<)
皆様のお力をお借しいただきたい次第です。
よろしくお願いします<m(__)m>

回答No.1

ItachiMasamune · ベストアンサー

＞関数f(x)が「連続であるかどうか」を調べるには、例えば、f(x)をaで微分した「lim(x→a) f(x)」と、元の関数f(x)がx=aの時、すなわち「lim(x→a) f(x)=f(a)」、「f'(a)=f(a)」となる時、連続なんですよね？

いろいろ違います。
まず、
＞f(x)をaで微分した「lim(x→a) f(x)」
とありますが、微分係数の定義からするとf`(a)=lim(x→a)(f(x)-f(a))/(x-a)です。連続と混合されてると思います。
f(x)が点aで連続であることの定義はlim(x→a) f(x)=f(a)となることです。この定義に微分は介入しません。
たとえば、g(x)=2^xとおけば、lim(x→1)g(x)=lim(x→1)2^x=2となりg(1)と一致するのでg(x)はx=1で連続ですし、同様にx=2でも3でも連続になります。一般的なaにおいてもlim(x→a)g(x)=lim(x→a)2^x=2^aとなりg(a)と一致するので全実数区間で連続です。

お礼

すいませんごっちゃになっていました(>_<)
「全区間Rで連続である」というのが、なんとなくわかりました！
f(x)=3x-(2^x＋2^-x)
も、lim(x→1)の時と、x=1を入れた時が、一致するんですね。
そしてlim(x→a)の時も、x=aを入れた時も一致するから、連続した関数なのですね(^_^;)
具体例も出していただき、ありがとうございます<m(__)m>

回答No.3

ItachiMasamune

打ち間違えかもしれませんが、中間値の定理の定理が変です。
f(a)とf(b)の間の値kに対して、f(c)=kである点cが、開区間(a,b)の中に少なくとも1つ存在する。
が本当。

f(x)=0となる値が存在することを示したいので、0目線になります。
0がf(0)とf(1)の間にあることを示す必要があるので、f(0)<0とf(1)>0が必要です。

お礼

訂正ありがとうございます！
添付画像も間違えていました、f(0)=-2<0と、f(1)=3-(2＋1/2)=1/2>0になってなかったですね、すいません(>_<)

回答No.2

noname#101087

>f(x)=3x-(2^x＋2^-x)は、変数xが指数としてくっ付いてるので、どう微分していいのやら・・・

連続性をみるのは微分に限るわけでもありませんが、どうしても微分してみたけりゃ、
　2^x = e^{x*LN(2)}
と指数関数にするのがふつう。

>どうして「<0」「>0」など、0から目線で証明を進めているのか .....

x 区間の片端で「<0」、他端で「>0」ならば、その間に f(x) の零点があるはず、だからでしょうね。
そんな区間が、いつもうまく見つけられる保証も無いのですけど。

お礼

わかりました、微分して示すわけではないみたいですね！
いやはや勉強になります(>_<)

x 区間の片端で「<0」、他端で「>0」ならば、その間に f(x) の零点があるはず・・・

ですか。
確かにそうですね。

f(0)=-2、f(1)=1/2、となれば、f(a)=0を満たすaが、区間(0,1)の間にあるはず・・・
という考えにいたりますよね、いや～その考えになかなか至ることができませんでしたが、なんとなく理解できました、ありがとうございます(^_^;)