高校数学ロルの定理の証明

質問

ロルの定理；ｆ（ｘ）を［a,b］において連続、（a,b)において微分可能な関数とする。さらに、f(a)=f(b)のとき、f´（ｃ）＝０かつa<c<bを満たすｃが存在するを証明

（本の記述）ｆ（a)=f(b)≠０であればｇ（x)=f(x)-f(a)を考えることで、ｇ(a)=g(b)=０となるから、最初から、f(a)=f(b)=0として証明してもよい。
（ア）ｆ（ｘ）≡０のときはa<x<bなる任意のｘでｆ´（ｘ）＝０だから定理は成り立つ。
（イ）ｆ（ｘ）は恒等的に０でない時（ｆ（ｘ）≡０の否定です。ＰＣで記号が出ません｝
ｆ（ｄ）≠０となるｄが（a,b)に存在する。
（以下略）
（疑問点）
最初の「ｆ（a)=f(b)≠０であればｇ（x)=f(x)-f(a)を考えることで、ｇ(a)=g(b)=０となるから、最初から、f(a)=f(b)=0として証明してもよい。」という部分では何をしているのでしょうか？
また証明の流れ的に（ア）ｆ（ｘ）≡０のとき（イ）ｆ（ｘ）は恒等的に０でない時という場合分けは何を考えているのでしょうか?

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんにちわ。
何を示したいのかを理解しないと、この文言だけだとわけがわからないかもしれませんね。

＞最初の「ｆ（a)=f(b)≠０であればｇ（x)=f(x)-f(a)を考えることで、
＞ｇ(a)=g(b)=０となるから、最初から、f(a)=f(b)=0として証明してもよい。」という部分では何をしているのでしょうか？
これは単に y＝ f(x)のグラフを ｙ軸方向に平行移動させているだけです。
別に平行移動させなくてもいいような気もしますが・・・

ただこうしておけば、(イ)のさらなる場合分け
f(x)＞ 0となる点が存在するとき or f(x)＜ 0となる点が存在するとき
をかんがえやすくすることができます。

もしこれをやらないと
f(x)＞ f(a)となる点が存在するとき or f(x)＜ f(a)となる点が存在するとき
となり、あとの式も示せなくはないですが、少々面倒な形になってしまいます。
といっても、略されているので実際どう書かれているのかはわかりませんが。

＞また証明の流れ的に（ア）ｆ（ｘ）≡０のとき
＞（イ）ｆ（ｘ）は恒等的に０でない時という場合分けは何を考えているのでしょうか?
(イ)は、「最大値または最小値が存在するとき」という場合分けに相当します。
最大値または最小値となる点において f '(x)＝ 0となることから、示そうとしているということです。
こちらが本線であり、(ア)は定数関数についての特殊な例になります。