- ベストアンサー
ウィルソンの定理を使った証明です
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
なんか問題が不正確な気がする. a は「ウィルソンの定理」とは無関係. (n-1)! のままだとわからんかもしれないがべろっと展開すればほぼ一瞬. b は「(n-1)! ≡ -1(mod n)」をちょっといじれば終わり.
その他の回答 (1)
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
d は n の「n 以外の約数」だよね. じゃあ, n と d の大小関係はどうなりますか?
お礼
なるほど！ 0<d<(n-1)!で (n-1)!のどれかがdになるということですね！ありがとうございました！
関連するQ&A
- ウィルソンの定理の証明は？
ウィルソンの定理 (n - 1)! + 1≡ 0(mod n) n：素数 の証明が思いつきません。 たとえばn=7とすると、 6!=(6・1)(5・3)(4・2) =6・15・8 のように分解できるようなのですが、 すべての素数についてこのように分 解できることを証明するためには、 どうしたらよいのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 離散数学の証明問題
離散数学の証明問題 合同でないことを≡×と表します。 Pを素数とし、a≡×0(mod p)とする。また、aの位数をdとする。 このとき、次のことを示せ。 (1)整数nに対して、a^n≡1(mod p)であるならば、かつそのときに限り、d|n (2)dはp-1の約数である。 (3)整数i,jに対してa^i≡a^j (mod p)であるならば、かつそのときに限り、i≡j(mod p) (1)はFermatの小定理を使うと思うのですが、いまいち解法が浮かびません。 (2)はFermatの小定理から自明に思えますが、厳密に証明しないといけないみたいです。 (3)は証明方法がまったく分かりません。 分かる方、証明お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- オイラーの定理(整数)
nは自然数、aは整数とする。aとnが互いに素な時、a^{φ(n)}≡1( mod n)が成り立つ。 ここでφ(n)は「n以下の自然数でnと互いに素なものの個数を表す」"オイラーの関数"である。 この定理の例証で、例えばn=45=3^(2)*5のときa=7として考えます。 φ(45)=φ(3^2)*φ(5)となり、φ(3^2)=6、φ(5)=4です。 フェルマーの小定理よりmod 5 で、7^φ(45)={7^φ(5)}^φ(3^2)は {7^φ(5)}≡1 (mod 5)より、7^φ(45)≡1 (mod 5 )・・・(1)になり。 次に7^φ(3^2)≡1(mod 3^2)をしるします。フェルマーの小定理より mod 3 で 7^(3-1)≡1なので7^(3-1)＝3k+1、 7^φ(3^2)={7^(3-1)}^3＝(3k+1)^3=(3k)^3+3C1(3k)^2+3C2(3k)+1 3C1、3C2は３の倍数なので、7^φ(3^2)≡1(mod 3^2)・・・(2)です。 よって、7^φ(45)={7^φ(3^2)}^φ(5)≡1(mod 3^2)となります。 ここからが分からない箇所なのですが、中国の剰余定理から、 (1)かつ(2)⇔7^φ(45)≡■(mod 3^(2)*5)となる■が、1つだけ存在します。と書いてありますが、自分は中国の剰余定理は、m、nを互いに素な自然数とする。 x≡a(mod m)かつ x≡b(mod n)を満たす整数xはmnを法として、ただ1つ存在する。と書いてあることから、割る数が違えば、a,bのように余りもちがう場合に、整数xはmnを法として、ただ1つ存在する。と思っていたのですが、 この例証では、■≡7^φ(45) (mod 5)かつ■≡7^φ(45) (mod 3^2)のような余りが 一緒の場合を同時に満たす■を求めているような気がして、中国の剰余定理があてはまるか不安です。 自分の考えの間違いや、余りが一緒の場合でも中国の剰余定理が使えるかを教えてください。お願いします。 本では、■＝1のとき(1)、(2)が成り立つので、■＝1だとわかります。 よって7^φ(45)≡1(mod 45 )となることがしるされました。としめくくっています。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 最大公約数、定理の証明
a,bを a=b=0 でない2つの整数とするとき a*r + b*s =(a,b) のような整数 r,s が存在する --------------------------------------- という定理があって、この定理を使って 次の定理を証明せよ、という問題なのですが… d=(a,b) 整数 n は、 n|d のとき、その時に限り a と b の公約数である … n|d は dはnで割り切れるという意味 どういうふうに導くのかわかりません。 d=(a,b)= a*r + b*s = t*n (tは整数) とおく、ここまで何となくやってみたのですが… 「公約数」であることを示す方法、目標が見えません。 教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 倍数の判別方法の証明
先日modについての質問をさせて頂いたものです。 modについては分かりやすい解答を頂き、(おそらく)分かったのですが、 それでも倍数判定の証明がよく分かりません。 ３の倍数： Ｎ＝m×10n＋・・・＋c×10^2＋b×10＋a において 10≡1から、10^n≡1である。 よって Ｎ≡m＋・・・＋c＋b＋d となり・・・・ と書かれていたのですが、なぜ余りが1であれば Ｎ≡m＋・・・＋c＋b＋aと変形できるのか分かりません。 説明いただけると助かります。宜しくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学的帰納法ぬきで二項定理を証明したい
こんにちは。たとえば、微分の公式 D(x^n)=nx^(n-1) を証明したいとき、数学的帰納法で証明することも出来ますが、それだと微分の結果の予想をしなければならず、初見者には天下り的でなんとなく不満が残ります。 できることなら、演繹的に示したい。 D(x^n)=nx^(n-1)においては、対数微分を使えば示せます。 そして、二項定理 (a+b)^n = Σ[k=0,...,n](nCk) (a^k) (b^(n-k)) ですが、これを数学的帰納法ぬきで証明したいのです。 いいアドバイスをお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 余弦定理・正弦定理を用いた証明
ｓ＝(a＋b＋c＋d)/2とおくと、 四角形ＡＢＣＤの面積Ｓ＝√（s-a)(s-b)(s-c)(s-d) となるのは何故ですか？ 正弦定理・余弦定理等を用いて、∠ＢＡＤ＝θとして、証明したいです。 宜しくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 二等分線定理の余弦定理による証明
三角形ＡＢＣにおいて、角Ａの二等分線を引き、ＢＣとの交点をＤとします。ＡＢ＝a、ＡＣ＝ｂ、ＢＤ＝ｃ、ＣＤ＝ｄとすると、a:b＝c:dとなります。俗に二等分線定理と呼ばれるものですが、これを余弦定理によって証明する方法を教えていただけますでしょうか。 証明法は数ほどありますが、余弦定理を使ったやり方がわかりません。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 余弦定理の証明
こんにちは。 第一余弦定理の証明でつまずいて困っています。 それは正弦定理から第一余弦定理を導くというもので 『加比の理を用いて a/sinA＝b/sinB＝c/sinC ＝(bcosC+ccosB)/(sinBcosC+cosBsinC)・・・(1) ＝(bcosC+ccosB)/sinA・・・・・・・・・・・(2) ∴a＝bcosC+ccosB』 というものです。 この証明で(1)、(2)の部分がなぜそうなるのか分かりません。 加比の理は a/b＝c/d＝e/fの時 a/b＝c/d＝e/f＝(a+c+e)/(b+d+f) というものだと思うのですがどこでこれを使ったのかも分かりません。 上の証明はHPで見つけたもので 問題の箇所は 以下HPの真ん中辺です。 http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/trigonometry/sinecosine.htm よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- フェルマの小定理と位数に関する質問です
問題） pを素数とします。また、aをpで割り切ることのできない整数とします。 この時、a^n≡1(mod p)となる最小の正整数nをmとすると p≡1(mod m)であることを証明したいです。 証明) まず、フェルマの小定理より、 n=p-1のとき、a^n≡1(mod p)が成り立つことが分かります。 よって、n=p-1がa^n≡1(mod p)となる最小の正整数nの場合、 m=p-1なので、明らかにp-1をmで割り切ることができるため、 p≡1(mod m)である。 (ここからが分かりません。。。) 次に、n=p-1がa^n≡1(mod p)となる最小の正整数nでない場合、 つまり、m<p-1となるmが存在する場合、 そのmによって、p≡1(mod m)が成り立つことを証明したいのですが、よく分かりません。 どなたか詳しい方、ご教授お願いします。 途中までの証明も不適切(不要)でしたら指摘してください。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
補足
べろっと展開というのは (n-1)! = (n-1)*(n-2)*(n-3)*......*1 の事ですか？？？ここからどうすればdで割れると示せるのでしょうか？