- ベストアンサー
極限の基本定理の証明について
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
関連するQ&A
- 上極限,下極限のこの不等式の等号成立例は?
上極限,下極限を夫々^lim,_limで表す事にします。 [Q.] Let {a(n)} and {b(n)} be bounded sequences in R. We know _lima(n)+^limb(n)≦^lim(a(n)+b(n))≦^lima(n)+^limb(n) …(*). Given an example to show that equality need not hold in (*). つまり、等号成立となる例を挙げよという意味だと思います。 どのような例が挙げられますでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 上極限の不等式の証明
数列{a(n)}{b(n)}において、b(n+1)>b(n)(n:自然数)かつ、limb(n)=∞のとき、 limsupa(n)/b(n)≦limsup{a(n+1)-a(n)}/{b(n+1)-b(n)} (lim,limsup は全て n→∞) という問題がどうしても解けません＞＜）。 方針すらわかりません。どなたかわかる方教えてください。
- 締切済み
- 数学・算数
- 極限について。（ロピタルの定理？）
次の解が導出できません。 lim (d/dn)r^(n+2)=r^2*Logr n→0 lim (d/dn)r^n=Logr n→0 F=A*r^t*cos(tθ)＋B*r^t*sin(tθ) Fにおいてt→０のとき F=A*Logr＋B*Logθ 一番上はr^(2+n)を真中はr^2を極限にとばすみたいです。これはロピタルの定理なのでしょうか？まったく変形がわかりません。 一番下はロピタルの定理らしいのですがこれまたわかりません。 どなたかお願いします。あせってます。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 極限がわかりません・・・（基本
数列｛a(n)｝の一般項とその極限を求めよ。 1.a(1)=1,a(n+1)-a(n)=(1/3)^(n-1) 2.a(1)=1,a(2)=2,a(n+2)-a(n+1)=(1/2)(a(n+1)-a(n)) 次の極限を求めよ。 3.lim(x→3){1/(x-3)^2} 4.lim(x→0){(1/x^2)-2} 5.lim(x→-1){x/(x+1)^2} 6.lim(x→2)[{x-√(x+2)}/(x-2)] 7.lim(x→0)[{√(2+x)-√(2+x^2)}/{√(x+1)-√(1+x^2)}] これだけお願いします。GWという貴重な時間を割いて 教えてくれる方感謝します。明けにテストがあるのですが 基本問題なのですができるだけ詳しく教えてください。 一問単位でも結構です。よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 上極限、下極限の定義を極限の定義と類似の形ですることができることを示す定理
「微分積分学I」（三村征雄 著、岩波全書、1980年度版）のP56 定理25 の証明が分かりません。 この定理25 は上極限、下極限の定義を極限の定義と類似の形ですることができることを示すものです。 定理25 lim sup a(n), n→+∞、＝α∈Rであるためには、ε>0が任意に与えられたとき、 殆どすべてのnに対し、 a(n)<α+ε (8) 無限に多くのnに対し、αーε<a(n) (9) となることが、必要十分である。 （以下省略） 注記： a(n)はa にインデックスのn がついたものです。 というところなのですが、P57の証明では次のようになっています。 lim sup a(n)＝α、すなわちlim a（n）バー（aの頭に横棒） ＝αとすれば、ε>0が与えられたとき、 殆どすべてのn に対し、αーε<a（n）（aの頭に横棒）<α+ε となる。a（n）≦a（n）バー であるから、まず(8)が成り立 つ。 ここまでは分かるのですが、 つぎからはさっぱりです。（『・・・』に包んでおきます。） 『つぎに、αーε<a(n) バー＝sup{a(m); m≧n}であることか ら、αーε<a(m(n))∈{a(m); m≧n}であるようなm(n)が存在し、 これらのm(n)のなかには重複するものがあるかもしれないが、 m(n)≧nであるから、重複するものを除いても、無限に多くの ものが残る。すなわち(9)が成り立つ。』 注記： a(m(n))はa にインデックスm がつき、そのmにさらにインデックスnがついたものです。 あれこれ考えているうちに、次のような証明を思いつきました。 ＜＜・・・＞＞で包んでおきます。 ＜＜数列a(n)を作っている数の集合をA と表す。 もし、αーε<a(n) を満たすAの要素a(n)が有限個し かないと仮定する。そのようなa(n)のインデックスnには 最大値が存在する.それをNとすると、 αーε<a(N) 、a(N+1)≦αーε、a(N+2)≦αーε、・・・となる。 よって、A(N)＝{a(N), a(N+1), ...}, A(N+1)＝{a(N+1), a(N+2), ...}, ・・・・・とすると、 （これは上極限、下極限を定義するときの表現と同じです) これらのどの要素もインデックスが N+1かそれより大きいので、 A(N+1)、A(N+2)、...のどの要素もαーεより大きくなることは ないのでsupの定義とa（n）バー が単調減少数列になることから、 ・・・≦a（N+2）バー ≦a（N+1）バー ≦αーε これはα≦a(n)バー と矛盾する。故に(9)が成り立つ。＞＞ 以上よりお願いが二つあります。 １．『・・・』について、理解のヒントを教えてもらえるとありがたいです。 ２． ＜＜・・・＞＞について、私の証明を検証してもらえるとありがたいです。 勝手ながらよろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 極限値の求め方がよくわかりません。
極限値の求め方がよくわかりません。 lim[log{2^(1/2) * 3^(1/3) * 4^(1/4) *・・・・* n^(1/n)}] ／ｎ n→∞ です 分子のlog{2^(1/2) * 3^(1/3) * 4^(1/4) *・・・・* n^(1/n)} をどう処理するか？ 分子が積になっているので、わかりません。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- はさみうちの定理を使う極限の問題です。
lim(n→∞) n*sin(π/n) の極限値を求める問題で、はさみうちの定理を使って解くことを考えたのですが ≦ n*sin(π/n) ≦ n*π/n となり、右辺の数式は見つけられたのですが、左辺に最適な数式が見つけられずにいきずまっています。答えは、πになるそうなのですが、その過程が分からなくなったので、質問させていただきました。宜しければ、ご回答お願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 極限の基本的な考え方、教え方
n→∞のときのlim(2n-1)が∞であることの教え方について質問します。 1．lim(n)=∞ 2．lim(2n) => 2∞ 3．2∞ => ∞ 4．∞-1 => ∞ よりも簡単に説明できる方法ってありませんか? また、見方を変えて、皆さんはどうやって極限を理解していますか? 数学、極限は苦手！という人でも、上のような考え方の変なところ、オカシなところ、腑に落ちないところなどあれば、教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
どうもありがとうございます。 うわっ、それですね！ a=0の場合をすっかり忘れておりました…。 どうもありがとうございます！