極限の基本的な考え方、教え方

質問

n→∞のときのlim(2n-1)が∞であることの教え方について質問します。

1．lim(n)=∞
2．lim(2n) => 2∞
3．2∞ => ∞
4．∞-1 => ∞

よりも簡単に説明できる方法ってありませんか?
また、見方を変えて、皆さんはどうやって極限を理解していますか?

数学、極限は苦手！という人でも、上のような考え方の変なところ、オカシなところ、腑に落ちないところなどあれば、教えてください。

回答No.3

partita · ベストアンサー

元塾講師です。

私ならば、1次関数のグラフを書いて、
「nが1,2,3・・・と増えると、2n-1も増える」
と説明します。

発散の場合は「無限大」という言葉を使用せず、「増える」「減る」の言葉を使用すると生徒はわかってくれることが多かったです。または、具体的にn=1,2,3・・・と、2n-1=1,3,5,・・・と対比表を書いてみるとかね。

教える相手のレベルにもよります。

お礼

∞は特定の値ではなく「どんどん増える」というイメージもありますね。
「特定の値ではない」と気づくところが重要ではないか、と思えます。

回答No.4

freedom560

ｎが１より大きな数のとき

ｎ＜２ｎ－１　は常に成り立ちますよね？

で、ｎが∞（当然＞１）になったってことは２ｎ－１はもっと大きな数になっているはずなので、（それより大きな数を示すことはできないので形式上）∞になっているということは容易に想像がつきます。

回答No.2

a-saitoh

無限は「値」ではないので，具体的な数の場合と同じ操作(∞=2∞とか）を持ち出すのは結局間違いのもとではないかと思います．

「+∞に発散する」の定義に合致することを示すのがよいとは思いますが．．．発散の定義に立ち返らずに説明するならば，こうかな？

a(x)＝2x-1　とおく．
あきらかに，a(1)=1 < a(2) < a(3)...任意の整数nについて　a(n)<a(n+1)　つまり，a(n)は単調増加数列．
よって，a(n)は何らかの値に収束するか+∞に発散するかで，振動することはない．
「どんなnに対してもa(n)<u」　となるような上界　uを　数列a(n)が持たないので(任意のuに対して，a(u)という反例が作れる)，発散．

もっと簡単に説明するならば(厳密さはないですが)
数列A　n　=1，2，3，4．．が+∞に発散することが納得できるならば
数列B 2n+1 =1, 3, 5, 7・・・を考えると，BはAの部分列なので，やはり発散する．

お礼

確かに、回答に2∞=∞なんてあったら見るほうも「なんだ？」って思っちゃいますね。気をつけた方がよさそうです。ありがとうございます。

回答No.1

sanori

私は、こういうのを理屈で説明するのが苦手なので、大学１～２年のときに数学嫌いになりました。
（３年の「応用数学」と４年の「力学」で数学好きに復活）

この場合は、簡単です。
２ｎ＋１はｎの一次関数、
言い換えれば、公差２ｎの等差級数です。
ですから、ｎが１増えるごとに、いつまでーも２ｎずつ増えていきます。

お礼

おぉ！理屈じゃない考え方、歓迎します。
こう考えると、ずーーーーと増えていくから∞になりそうですね。