極限の問題 大学受験

質問

極限の問題について質問です。基本なのですが、よろしくお願いいたします。

Lim(n→∞)sinnθ/ (2n-1)の極限値を求める問題です。

私は、公式lim(n→0)sinx/x=1を使用したかったので、次のように計算しました。
1/t=nとおくとｎ→∞のときt→0
Lim(n→∞)sinnθ/ (2n-1)
＝Lim(t→0)sin(θ/t)/ (2/t-1)
＝Lim(t→0)(t(sinθ/t))/(2-t)×(θ/t)／(θ/t)
＝Lim(t→0)θ/(2-t)
=θ/2

でも、答えは挟みうちの原理をつかっていました。
解答をみれば、その方法も理解できて、そちらの方法の方が簡単だと納得しました。ですが、自分の方法が間違っているとも思いませんが、やはりどこかがおかしいのだと思います。
そこで質問なのですが、私の方法どこが間違っているのでしょうか？？？よろしくお願いします。

回答No.3

mmky

sinxはxについて無限べき級数に展開できますね。
言い換えれば（sinx）は無限級数和の簡単な表示方法なんですね。
(x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+・・ ) = sinx とするなんです。
同時に（sin）関数の特徴は、|sinx|≦ 1 ですね。
つまり（sin）関数は±１を超えない特殊な無限級数和なんですね。
例えば、
(sinx)/x =(1-x^2/3!+x^4/5!-x^6/7!+・・)
だからx→0 で　sinx/x → 1　になるということですね。
この場合は分子にxのべき数があるからですね。
これは、特別な場合といえますね。
例えば、
x*sin(1/x)=x*(1-1/x^3*3!+1/x^5*5!-1/x^7*7!+・・)
この場合、(1-1/x^3*3!+1/x^5*5!-1/x^7*7!+・・)の値はなんだかわかりませんね、しかし±１を超えないことは（sin）関数の特徴から明らかですね。だからx*sin(1/x)　≦　x*|1|
x→0 x*|1|→0, x*sin(1/x)→0
といえますね。
例えば、
sin(nθ)/(2n-1)　であれば、
sin(nθ)/(2n-1)
=((nθ)-(nθ)^3/*3!+(nθ)^5/5!-(nθ)^7/7!+・・)/(2n-1)
この場合も分子の値はなんだかわかりませんね。しかし上の例と同様に分子が±１を超えないことは（sin）関数の特徴から明らかですね。
だからsin(nθ)/(2n-1) ≦　|1|/(2n-1) はいえますね。
後は同じですね。
つまり、公式lim(ｘ→0)sinx/x=1　はこの形式にのみ当てはまる場合の特別な式なんですね。それ以外にはなんとも使えないんですね。

お礼

ご回答ありがとうございます。sinxの極限については、扇形の図をかいて求めているのは知っていますが、書いていただいたような式は初めて知りました。再度チェックしなおしてみます。ありがとうございました。

回答No.2

oyamala

んー、こう言うと悪いのですが、何を目的に変形しているのかがわからないですね。

まず基本的なことから言うと、1/t=nとおくと、n→∞のとき、t→+0　です。+0の+を落とすと結構大変なことになるので注意してください。

また、lim(x→0) sinx/x = 1の公式が言っていることは、
sin○/○　という式があったときに、○を限りなく0に近づけると1になるよ！ということです。

ですから、例えばlim(x→0) sin(sinx)/sinx　の値は？
なーんて聞かれても即答です。うだうだ変形する必要はありません。
x→0のとき、sinxは限りなく0に近づくので、
sin○/○の形で○が0に近づくのと同じです。

極限ではそういった式の捉え方が重要になります。
少し本筋とはそれましたが、もう一度よく問題を考えてみてください。

お礼

ご回答ありがとうございます。

＞まず基本的なことから言うと、1/t=nとおくと、n→∞のとき、t→+0
＞です。+0の+を落とすと結構大変なことになるので注意してください。

そうなのですね。私はよく迷うのですが、問題によっては、ただ∞と書いて＋∞と－∞を同時に求めているのがあります。
これはどういうときにわけて考えて、どういうときにまとめて考えていいのでしょうか。

＋∞と－∞が一致するときは、同時に考えていいのでしょうが、どういうときにそれが一致すると考えればよいのでしょう。

同様にある値aに＋から近づくとき－に近づくときも同様の疑問があります。

回答No.1

cysteine

Lim(t→0)(t(sinθ/t))/(2-t)×(θ/t)／(θ/t)
＝Lim(t→0)θ/(2-t)
ここ。
イコールになってませんよ。

お礼

ごかいとうありがとうございます。
でも、どうして＝成立してないんでしょう？
してると思うのですが、？