極限値の求め方と解く方法
- 極限値の求め方について質問があります。具体的な問題文を提示していますが、答えが正しいか不安です。lim n→∞を表す記号の書き方や区分求積法を使った解法を詳しく教えてください。
- 与えられた問題はlim n→∞ ((n/((n^2)+(1^2)))+(n/((n^2)+(2^2)))+…+(n/((n^2)+(n^2))))の極限値を求めるものです。具体的な計算手順を示していますが、計算結果が正しいか確信が持てません。回答をお願いします。
- 与えられた問題は極限値の計算です。具体的な計算手順を示していますが、答えが合っているかどうか心配です。区分求積法を使った解法を詳しく解説していただけると助かります。
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極限値の求め方。
解いてみたのですが、答えが合っているか分からないので添削、解答お願いします。 limの下にn→∞を書く書き方が分からないので、lim n→∞という変な書き方になってしまいますが、すみません。 lim n→∞ ((n/((n^2)+(1^2)))+(n/((n^2)+(2^2)))+…+(n/((n^2)+(n^2)))) これの極限値を求める問題です。 = lim n→∞ n((1/((n^2)+(1^2)))+(1/((n^2)+(2^2)))+…+(1/((n^2)+(n^2)))) = lim n→∞ 1/n(((n^2)/((n^2)+(1^2)))+((n^2)/((n^2)+(2^2)))+…+((n^2)/((n^2)+(n^2)))) = lim n→∞ 1/n((1/(1+(1^2)/(n^2)))+(1/(1+(2^2)/(n^2)))+…+(1/(1+(n^2)/(n^2)))) = ∫[0,1]1/(1+x^2)dx = [(tan^-1)x][0,1] =π/4 区分求積法を使って解いたのですが、合っている自信がありません。 見にくくなってしまったのですが、回答をお願いします。
- black_ry0chan
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(与式)=lim[n→∞]Σ[k=1,n]{n/(n^2+k^2)} =lim[n→∞](1/n)Σ[k=1,n]{n^2/(n^2+k^2)} =lim[n→∞](1/n)Σ[k=1,n][1/{1+(k/n)^2}] =∫[0,1]{1/(1+x^2)}dx となります。 ここでx=tanθとおくと dx/dθ=1/(cosθ)^2=1+(tanθ)^2 ∴dx={1+(tanθ)^2}dθ x:0→1のとき、θ:0→π/4 となるので ∫[0,1]{1/(1+x^2)}dx =∫[0,π/4][1/(1+(tanθ)^2}]*{1+(tanθ)^2}dθ =∫[0,π/4]dθ =[θ][0,π/4] =π/4 となります。 O.K.です!!
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お礼
ありがとうございます! 不安だったので安心しました!!