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極限値の求め方。

解いてみたのですが、答えが合っているか分からないので添削、解答お願いします。 limの下にn→∞を書く書き方が分からないので、lim n→∞という変な書き方になってしまいますが、すみません。 lim n→∞ ((n/((n^2)+(1^2)))+(n/((n^2)+(2^2)))+…+(n/((n^2)+(n^2)))) これの極限値を求める問題です。 = lim n→∞ n((1/((n^2)+(1^2)))+(1/((n^2)+(2^2)))+…+(1/((n^2)+(n^2)))) = lim n→∞ 1/n(((n^2)/((n^2)+(1^2)))+((n^2)/((n^2)+(2^2)))+…+((n^2)/((n^2)+(n^2)))) = lim n→∞ 1/n((1/(1+(1^2)/(n^2)))+(1/(1+(2^2)/(n^2)))+…+(1/(1+(n^2)/(n^2)))) = ∫[0,1]1/(1+x^2)dx = [(tan^-1)x][0,1] =π/4 区分求積法を使って解いたのですが、合っている自信がありません。 見にくくなってしまったのですが、回答をお願いします。

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noname#146456

(与式)=lim[n→∞]Σ[k=1,n]{n/(n^2+k^2)} =lim[n→∞](1/n)Σ[k=1,n]{n^2/(n^2+k^2)} =lim[n→∞](1/n)Σ[k=1,n][1/{1+(k/n)^2}] =∫[0,1]{1/(1+x^2)}dx となります。 ここでx=tanθとおくと dx/dθ=1/(cosθ)^2=1+(tanθ)^2 ∴dx={1+(tanθ)^2}dθ x:0→1のとき、θ:0→π/4 となるので ∫[0,1]{1/(1+x^2)}dx =∫[0,π/4][1/(1+(tanθ)^2}]*{1+(tanθ)^2}dθ =∫[0,π/4]dθ =[θ][0,π/4] =π/4 となります。 O.K.です!!

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