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上極限の不等式の証明
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- grothendieck
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limsup{a(n+1)-a(n)}/{b(n+1)-b(n)} = L が有限であるとします。すると任意のε＞0 に対し適当な番号Ｎをとるとn≧Ｎ⇒ {a(n+1)-a(n)}/{b(n+1)-b(n)} ＜ L + ε よって {a(n+1)-a(n)} ＜ (L + ε)(b(n+1)-b(n)) したがってm>N となる任意のmについて {a(m)-a(N)} ＜ (L + ε)(b(m)-b(N)) ある番号以上でb(m)>0 として良いから両辺をb(m)で割ると {a(m)-a(N)}/b(m) ＜ (L + ε)( 1 -b(N)/b(m)) m→∞ でa(N)/b(m)、b(N)/b(m)は0に収束するので limsup a(n)/b(n)≦L
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