漸化式の極限の問題

質問

0<a(1)<b(2) をあたえて数列a及び数列bを

a(n+1)=(a(n)*b(n))^(1/2) , b(n+1)=(a(n)+b(n))/2 (nは自然数)

と定義する。このとき、数列a及び数列bが同じ値に収束することを証明せよ。

という問題が分かりません。
どなたかよろしくお願いいたします

回答No.1

f272 · ベストアンサー

まず最初の前提は0<a(1)<b(1) だと思うがいかが？

数列aは単調増加
a(n+1)=(a(n)*b(n))^(1/2)>(a(n)*a(n))^(1/2)=a(n)
数列bは単調減少
b(n+1)=(a(n)+b(n))/2<(b(n)+b(n))/2=b(n)
いつでもa(n)<b(n)
a(n+1)=(a(n)*b(n))^(1/2)<(a(n)+b(n))/2=b(n+1) .....相加相乗平均を思い出すこと。
この3つから数列a及び数列bが同じ値に収束すると言える。

回答No.2

f272

#1です。
3つの条件だけでは，数列a及び数列aが収束することは言えるが，同じ値に収束することまでは言えなかった。最後にそれぞれの収束先をAおよびBとでもおいて，ちゃんとA=Bであることを言ってください。

お礼

了解です。ご丁寧にありがとうございました。