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漸化式の極限の問題

  • 質問No.9752053
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お礼率 50% (1/2)

0<a(1)<b(2) をあたえて数列a及び数列bを

a(n+1)=(a(n)*b(n))^(1/2) , b(n+1)=(a(n)+b(n))/2 (nは自然数)

と定義する。このとき、数列a及び数列bが同じ値に収束することを証明せよ。


という問題が分かりません。
どなたかよろしくお願いいたします

回答 (全2件)

  • 回答No.2

ベストアンサー率 44% (4864/10856)

数学・算数 カテゴリマスター
#1です。
3つの条件だけでは,数列a及び数列aが収束することは言えるが,同じ値に収束することまでは言えなかった。最後にそれぞれの収束先をAおよびBとでもおいて,ちゃんとA=Bであることを言ってください。
お礼コメント
samidareitsuka

お礼率 50% (1/2)

了解です。ご丁寧にありがとうございました。
投稿日時:2020/05/23 15:16
  • 回答No.1

ベストアンサー率 44% (4864/10856)

数学・算数 カテゴリマスター
まず最初の前提は0<a(1)<b(1) だと思うがいかが?

数列aは単調増加
a(n+1)=(a(n)*b(n))^(1/2)>(a(n)*a(n))^(1/2)=a(n)
数列bは単調減少
b(n+1)=(a(n)+b(n))/2<(b(n)+b(n))/2=b(n)
いつでもa(n)<b(n)
a(n+1)=(a(n)*b(n))^(1/2)<(a(n)+b(n))/2=b(n+1) .....相加相乗平均を思い出すこと。
この3つから数列a及び数列bが同じ値に収束すると言える。
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