漸化式の解き方

質問

X(n) = A + B * X(n-1) + X(n-1)/n ( n は自然数, B ∈ (-1, 1) )

のとき、X(n) は「収束する」と言い切ることができるでしょうか？

X(n) = X(n-1) とおいて解くと、
n → ∞ で X(n) は A/(1-B) に収束しそうな気がするし、
Excelで実験しても収束しているようなのですが、
「収束する」と言い切ることができないでいます。

回答No.1

noname#108554

証明の方針としては、
X(n-1)>0とすると、
X(n) = A + B * X(n-1) + X(n-1)/n
> A + B * X(n-1)
したがって、X(n)>・・・という式が出せます。
この式から、limX(n)>=A/(1-B)
次に逆向きですが、あるn0を固定して、任意のn>n0に対し、
X(n) = A + X(n-1)(B + 1/n)
<A + X(n-1)(B + 1/n0)
となるので、
limX(n)<=A/(1-B-1/n0)
n0は任意なので、limX(n)<=A/(1-B)
以上より、limX(n)=A/(1-B)

X(n-1)<0の時も同様にいけると思います。（未確認）

補足

ありがとうございます。
でも、Aが負だと（たとえばー１００）
X(n-1)が正でもX(n)が負になる、といったことが
起こるので、X(n)の正負に依存すると
まずいと思うのですがどうでしょうか？