漸化式の証明

質問

Im,n=∫x^m・(1-x)^n 　　　
積分範囲は０から１
mとnは自然数
Im,n=m!n!/(m+n+1)!を証明する問題で

Im,n=(n/m+n+1)・Im,n-1　　　―(1)
Im,n=(m/m+n+1)・Im-1,n　　 ―(2)を小問で求めました。ここまでは大丈夫です。
ここから答えでは
I0,0=1
よって(1)(2)より
Im,n=1*…*(m+n)/m+n+1=m!n!/(m+n+1)!
となり終わっています。
なぜそうなるのですか？
(1)(2)はどのように使ったのですか？

回答No.3

ereserve67 · ベストアンサー

ANo.2補足について

>したから３行目までは分かりました
>{(m+n+1)(m+n-1+1)・・・(m+1+1)(m+1)!}が
>(m+n+1)!となるのが分かりません。

(m+{n}+1)(m+{n-1}+1)・・・(m+{1}+1)(m+1)!

この最後の因子(m+1)!を除く部分について，各因子の真ん中だけ抜き出すと左から

{n}, {n-1}, ・・・, {1}

というふうに１づつ減ってn個あります．全体としては

(m+n+1)(m+n)・・・(m+2)

のようにm+n+1から1づつ減ってn個あります．これに

(m+1)!=(m+1)m(m-1)・・・1

がかかっているのですから，結局n+m+1個の積

(m+n+1)(m+n)・・・(m+2)(m+1)m(m-1)・・・1

=(m+n+1)!

となります．

回答No.2

ereserve67

(1)より

Im,n={n/(m+n+1)}Im,n-1
={n/(m+n+1)}{(n-1)/(m+n)}Im,n-2
={n/(m+n+1)}{(n-1)/(m+n)}{(n-2)/(m+n-1)}Im,n-3
・・・
={n/(m+n+1)}{(n-1)/(m+n)}{(n-2)/(m+n-1)}・・・{1/(m+2)}Im,0
=n!/{(m+n+1)(m+n-1+1)・・・(m+1+1)}Im,0

(2)より

Im,0={m/(m+1)}Im-1,0={m/(m+1)}{(m-1)/m}Im-2,0
={m/(m+1)}{(m-1)/m}・・・(1/2)I0,0
={m!/(m+1)!}I0,0

よってI0,0=1とあわせて

Im,n
=n!/{(m+n+1)(m+n-1+1)・・・(m+1+1)}{m!/(m+1)!}I0,0
=n!m!/{(m+n+1)(m+n-1+1)・・・(m+1+1)(m+1)!}
=n!m!/(m+n+1)!

となります．

補足

したから３行目までは分かりました
{(m+n+1)(m+n-1+1)・・・(m+1+1)(m+1)!}が
(m+n+1)!となるのが分かりません。

回答No.1

f272

順番に使うだけ。
I(m,n)
=I(m,n-1)*(n/(m+n+1))
=I(m,n-2)*(n/(m+n+1))*((n-1)/(m+n))
=I(m,n-3)*(n/(m+n+1))*((n-1)/(m+n))*((n-2)/(m+n-1))
...
=I(m,0)*(n/(m+n+1))*((n-1)/(m+n))*((n-2)/(m+n-1))*...*(1/(m+2))
=I(m-1,0)*(n/(m+n+1))*((n-1)/(m+n))*((n-2)/(m+n-1))*...*(1/(m+2)) * (m/(m+1))
=I(m-2,0)*(n/(m+n+1))*((n-1)/(m+n))*((n-2)/(m+n-1))*...*(1/(m+2)) * (m/(m+1))*((m-1)/(m))
=I(m-3,0)*(n/(m+n+1))*((n-1)/(m+n))*((n-2)/(m+n-1))*...*(1/(m+2)) * (m/(m+1))*((m-2)/(m-1))
...
=I(0,0)*(n/(m+n+1))*((n-1)/(m+n))*((n-2)/(m+n-1))*...*(1/(m+2)) * (m/(m+1))*((m-2)/(m-1))*...*(1/2)
=m!n!/(m+n+1)!