漸化式の問題考え方はいいでしょうか

質問

a[1]=b[1]=1,a[n+1]=a[n]+2b[n]・・あ,b[n+1]=a[n]+3b[n]・・い (n=1,2,3......)
のとき、
(1)lim[n->∞]b[n]=∞を示せ。
(2)a[n+1]*b[n]-a[n]*b[n+1]をa[n],b[n]であらわせ、またa[n-1],b[n-1]であらわせ。
(3)lim[n->∞]a[n]/b[n]を求めよ。

(1)実際にb[n]の一般項をもとめて、n->∞をして、∞を示す。
(2)項の番号を下げていく。（－１になることがわかる。）
(3)(2)で求めた式の両辺をb[n]*b[n+1]でわり、n->∞をすると
　(1)より、右辺は０に収束するから、lim[n->∞]a[n+1]/b[n+1]=lim[n->∞]a[n]/b[n]・・う
　で収束する。また、（あ／い）よりa[n+1]／b[n+1]=（a[n]+2b[n]）／（a[n]+3b[n]）　右辺の分母分子を
　b[n]で割り、うの式からこの値をk(>0)とすると、k=(k+2)/(k+3) これをといて,-1+√3。
(3)はごまかしがあるようにおもいます。(1)は簡単にできるのではないかとおもいます。(2)はこれしかないとおもいます。
よろしくお願いします。

回答No.5

WiredLogic · ベストアンサー

(1) の別案です。答案にはしやすいかも。
a[n],b[n]は、ともに１以上であることが、
a[1]=b[1] = 1、
a[k],b[k]が１以上であれば、
a[k+1]=a[k]+2b[k]≧1, b[k+1]=a[k]+3b[k]≧1
から、数学的帰納法で言えるので、
b[n+1]=a[n]+3b[n]=b[n]+(a[n]+2b[n])≧b[n]+3 より、
b[n]は、初項がb[1]=1、公差が3の等差数列の第n項以上であることが解り、
この等差数列は、+∞に発散するので、b[n]も、+∞に発散

(3) は、(2)は使ってませんが、高校範囲なら、次のような感じでOKかと…

x≠1 のとき、
a[n+1] - x*b[n+1] = a[n]+2b[n]-x(a[n]+3b[n])
= (1-x)a[n] - (3x-2)b[n] = (1-x)[a[n] - {(3x-2)/(1-x)}b[n]]
となるから、

x = (3x-2)/(1-x) が、x≠1 となる解を持てば、
a[n+1] - x*b[n+1] = (1-x)(a[n] - x*b[n+1) となり、
c[n] = a[n+1] - x*b[n+1] とおけば、
{c[n]}は、初項・a[1]-x*b[1] = 1-x、公比・(1-x)の等差数列となる。

x = (3x-2)/(1-x) を解くと、x(1-x) = 3x-2、
x^2 + 2x - 2 = 0 だから、x = -1±√3

よって、x = √3 - 1 とおくと、1-x = 2 - √3 だから、
a[n] - (√3-1)b[n] = c[n] = (2-√3)^n となり、
0＜2-√3＜1 だから、lim[n→∞]c[n] = 0

よって、0 = lim[n→∞]{a[n] - (√3-1)b[n]}
= lim[n→∞]b[n]{a[n]/b[n] - (√3-1)}
これと、lim[n→∞]b[n] = ∞より、
lim[n→∞]b[n]{a[n]/b[n] - (√3-1)} = 0 だから、
lim[n→∞]b[n]a[n]/b[n] = √3-1

回答No.4

tmpname

最後の(1/3)の所は良く考えると簡単に(1/9)に変えられますが、
まあいいや。

回答No.3

tmpname

(1)はNo.1さんの言う通り b[n]≧nを示せばいいでしょう。
(2)は質問者さんの言う通り、計算すれば何かに気付きます。

(3)は、質問者さんもお気づきの通りa(n)/b(n)が
n→∞である値kに収束するならば kは k = (k+2)/(k+3)を
満たすはずであるというのはその通りです。
kは明らかに正のはずなので k = -1+√3

で、実際この値に収束することは、高校の範囲ならば実際に
(a[n]/b[n])-kがどう変化するかを見ればいいです。

つまり
Abs[ (a[n+1]/b[n+1]) - k ]
= Abs [(a[n]+2b[n])/(a[n]+3b[n]) - (k+2)/(k+3) ]
...
...
< (1/3) Abs [{(a[n]/b[n])-k}]
が示せるはずです（Absは絶対値）。
(2)を全く使っていませんが...

お礼

回答ありがとうございます
(1/3) Abs [{(a[n]/b[n])-k}]
の変形について考えてます。もしこれが分かれば、なるほどとおもいました。
勉強になります

回答No.2

ringohatimitu

＞＞(1)は、予想して数学的帰納法と言うことでしょうか

そうですね、正確にはその方針でよいです。

＞＞(3)については、やっぱり思っていたとおり、収束がはっきりしないところが欠点でした。
　それを示すには何があるか。コーシー列がちょっとよく分かりません。（高校の範囲）

高校の範囲ですか。だとすればコーシー列は使わない方法ということでしょうか？
う～ん、どうなんだろう。{a(n)/b(n)}については偶数番目と奇数番目だけ抜き出せばそれぞれ単調性はあるのですがそれはこの問題では求めてないのは明らかですしね～。詳しく調べていませんが収束することは自明なのかもしれませんがその「自明な方法」が今のところ思いつかないのでとりあえず参考までにコーシー列の方法を書いておきます。

数列{x_n}がコーシー列であるとは
「任意のε>0に対してある番号Nがあって|x_n - x_m|<εがすべてのn,m>Nについて成り立つ」
ということです。そして実数全体は「コーシー列は収束する」という性質を持っていることを使います。
ここまで認めてもらって話を進めます。
さて{a(n)/b(n)}が実際コーシー列であることは次のように分かります。
まず質問者さんが計算されているように

a(n+1)/b(n+1) - a(n)/b(n) = -1/{b(n+1)b(n)}

です。この式から自然数n,kに対して

a(n+k)/b(n+k) - a(n)/b(n) = -1/{b(n+k)b(n+k-1)} - ... -1/{b(n+1)b(n)}

が得られます。ここで両辺絶対値をとり評価b(n)≧n、partial summation(高校では区分求積と言うのかな？)を使って

|(左辺)| ≦ n^{-2} + ... + (n+k)^{-2} ≦ n^{-2} + (n+1)^{-2} + ... ≦ 1/n

より示すべきことが従います。

回答No.1

ringohatimitu

問題は連分数展開から引っ張ってきてると考えられますね。
それはさておき基本的に良いと思いますが少し補足を。

(1)は一般項を求めることが出来ればそれに越したことは無いですがもっと簡単に言えます。
例えばb(n)とかa(n)は常に自然数ですよね？そして初項、漸化式を見ればそれぞれ必ず1は増えていくことが明らかです。特にb(n)≧nが分かります。

(2)はそれでいいと思います。漸化式が与えられた段階ではとりあえず計算するしかないでしょう。質問者さんはもうお気づきのはずですが計算途中で特殊な事象が起こっていますよね。

(3)は惜しいです。収束すればその回答で大丈夫なのですが肝心の収束することが言えてません。
これについては例えば上で出した「b(n)が下からnで評価されてること」を組み合わせて{a(n)/b(n)}がコーシー列であることを示せるはずです。やってみてください。

お礼

回答ありがとうございます
(1)は、予想して数学的帰納法と言うことでしょうか
(3)については、やっぱり思っていたとおり、収束がはっきりしないところが欠点でした。
　それを示すには何があるか。コーシー列がちょっとよく分かりません。（高校の範囲）