シムソンの定理の証明

質問

シムソンの定理の証明

ホームページ
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/ptolemaios/simson.htm
の作成者に質問したかったのですが適当な所がみつからなかったのでここで質問します。
シムソンの定理
△ABCの外接円周上の点Pから
BC、CA、AB　に下ろした垂線の足を　D、E、F とする。
このとき、3点 D、E、F は1直線上にある。
この直線のことを、シムソン線という。
(証明)4点 P、F、A、E は、同一円周上にあるので、∠PFE＝∠PAE
…
と左図と一緒に書かれていましたが、
左図では確かに　∠PFE＝∠PAE　ですが
右図では4点 P、F、A、が 、同一円周上にあるにもかかわらず
　∠PFE≠∠PAE
となってしまい、この証明は誤りなのではないでしょうか?
シムソンの定理は、
「A,B,C,P,が同一円周上の点で D,E,F が　P　から　BC,CA,AB　への垂点」
という条件で　P,A,B,C　の位置に関係なく成立することを
証明しなければ、証明とはいえないのではないでしょうか?
以下の証明の方がよいのではないでしょうか?

△ABCの外接円周上の点Pから
BC、CA、AB　に下ろした垂線の足を　D、E、F とする。
外接円の中心に 0 を対応させ　点　P　に　1　を対応させて
外接円を単位円とする座標をいれて
点 A,B,C,D,E,F　のそれぞれの位置の複素数を
a,b,c,d,e,f　とすると
|a|=|b|=|c|=1　となるから

2d=b+c-bc+1
2e=c+a-ca+1
2f=a+b-ab+1

x~=(xの共役複素数)　とすると

4((e-d)(f~-d~)-(e~-d~)(f-d))
=((a~b-ab~)(|c|^2-1)+(b~c-bc~)(|a|^2-1)+(ac~-ca~)(|b|^2-1)
+a(|c|^2-|b|^2)+b(|a|^2-|c|^2)+c(|b|^2-|a|^2)
+a~(|b|^2-|c|^2)+b~(|c|^2-|a|^2)+c~(|a|^2-|b|^2))

|a|=|b|=|c|=1 だから

(e-d)(f~-d~)-(e~-d~)(f-d)=0

e-d と　f-d　の向きが等しいから

3点D,E,Fは1つの直線上にある

回答No.2

de-tteiu

>4点 P、F、A、E は、同一円周上にあるので、∠PFE＝∠PAE
という言い方は誤りではないでしょうか?

誤りではないと思いますが
丁寧に言うなら
4点 P、F、A、E は、“この順に”同一円周上にあるので、∠PFE＝∠PAE
とかになるんでしょうけど、P、F、A、Eと書いた時点でこの順に並んでいるということを示しているのが一般的な使い方だと思います（四角形の書き方と同じ）

お礼

ご回答ありがとうございます

補足

「4点 P、F、A、E は、同一円周上にある」というのは
仮定と定理から成り立ちますが、
「4点 P、F、A、E は、“この順に”同一円周上にある」
というのは仮定から成り立たないでのではないでしょうか?

回答No.1

de-tteiu

下の複素数の解答はそのHPの下の方にも書いてありますよね
確かに複素数の方が、シュタイナーの定理も一緒に証明できるのでそちらの方がいいかもしれません

右の図では、
四角形APFE,PBCA,PDBFがすべて円に接することから
∠PFE+∠PAE＝π
∠PAE＝∠PBD
∠PBD＝∠PFD
…
で証明できます

つまり、右図でA→B、B→Aと置き換えると左図と同じ証明になります。だから、初等幾何の解法が誤りというわけではなく、初等幾何で解く際には対称性について言及しなくてはいけないということですね

そのHPではその点について書いていないので、本来なら減点ポイントですね

で、同様に求められます。

お礼

ご回答ありがとうございます

補足

4点 P、F、A、E は、同一円周上にあるので、∠PFE＝∠PAE
という言い方は誤りではないでしょうか?