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三角形の面積の問題

三辺の長さがBC=a,CA=b,AB=cの三角形がある。 ABをa:bに内分する点をD,BCをb:cに内分する点をE,CAをc:aに内分する点をFとする。 このとき、△ABCと△DEFの面積比を求めよ。 ただしa≦b≦cかつa^2+b^2>c^2である。 答えはABC:DEF=2abc:(a+b)(b+c)(c+a)らしいのですが その導き方が全くわかりません。 どなたか教えてください。

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  • 回答No.4
  • info22_
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△FAD=△FAB*AD/AB=△FAB*a/(a+b) =△ABC*(AF/AC)*a/(a+b)=△ABC*{a/(a+c)}*{a/(a+b)} =S*(a^2)/{(a+b)(a+c)} (S=△ABCの面積) 同様に △DBE=S*{b/(b+c)}{b/(a+b)}=S*(b^2)/{(a+b)(b+c)} △ECF=S*{c/(a+c)}{c/(b+c)}=S*(c^2)/{(a+c)(b+c)} △DEF=△ABC-(△FAD+△DBE+△ECF) =S-S{(a^2)(b+c)+(b^2)(c+a)+(c^2)(a+b)}/{(a+b)(b+c)(c+a)} ={(a+b)(b+c)(c+a)-(a^2)(b+c)-(b^2)(c+a)-(c^2)(a+b)}S/{(a+b)(b+c)(c+a)} =2abcS/{(a+b)(b+c)(c+a)} ∴△DEF:△ABC=2abc:(a+b)(b+c)(c+a) (∵S=△ABC) >答えは△ABC:△DEF=2abc:(a+b)(b+c)(c+a)らしいのですが 比が逆なので間違いです。

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質問者からのお礼

図つきのわかりやすい解説ありがとうございます。 ABCをもとに辺の比を利用して求めればいいのですね。

その他の回答 (4)

  • 回答No.5
  • gohtraw
  • ベストアンサー率54% (1630/2966)

#1です。計算間違い。 △FADと△ABCを比べると AD=AB*a/(a+b) FA=AC*a/(c+a) なので前者の面積は後者の面積の a^2/(a+b)/(c+a)倍 ですね。

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質問者からのお礼

わかりました。 解説ありがとうございました。

  • 回答No.3

△ADF=△ABC×a/(a+b)×a/(a+c)=△ABC×a^2/(a+b)(c+a) △BED=△ABC×b/(b+c)×b/(a+b)=△ABC×b^2/(a+b)(b+c) △ECF=△ABC×c/(b+c)×c/(a+c)=△ABC×c^2/(b+c)(c+a) △ADF=△ABC{1-△ADF-△BED-△ECF} △ADF/△ABC ={(a+b)(b+c)(c+a)-(b+c)a^2-(c+a)b^2-(a+b)c^2}/(a+b)(b+c)(c+a) =2abc/(a+b)(b+c)(c+a) >答えはABC:DEF=2abc:(a+b)(b+c)(c+a)らしいのですが 比が逆では?

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質問者からのお礼

皆さんの言うように比を逆に書いてしまいました。 指摘と回答ありがとうございます。

  • 回答No.2
  • ye11ow
  • ベストアンサー率40% (230/564)

>答えはABC:DEF=2abc:(a+b)(b+c)(c+a)らしいのですが これにちょっと、a,b,c=3,4,5を代入してみてください(直角三角計ですが)。 △ABC(=2*3*4*5=120)<△DEF(=7*8*9=504)になってしまい、 当然△ABCのほうが大きいはずですので、これはおかしいですよね? (ちなみに「a≦b≦cかつa^2+b^2>c^2」なので、a,b,c=3,4,5は実際ダメですが、 c=4.99999(5より僅か小さい数)ならばよく、このことで大小関係は不変です) 正解は、反対になった「ABC:DEF=(a+b)(b+c)(c+a):2abc」だと思います。 さて、△ABC=(1/2)*b*c*sinA と正弦定理を使ってアプローチしてみます。 ごく普通に、△ABCから△DEFを引いた余りの部分の 「3つの三角形の面積」を、順に出していきます。 例えば、辺の長さを比によって分けた、AD=c*{a/(a+b)}などを用いて、 △ADF=(1/2)*{ac/(a+c)}*{bc(b+c)}*sinA のように式を立ててみます。 これに、a/sinA=2Rのような正弦定理を使えば、 =(abc/4R){a^2/(a+b)(a+c)} (実際に計算してみてください) そうやって「3つの三角形の面積の和」の式を出します(煩雑なので省略)。 次に、△ABC = (1/2)*b*c*sinA = abc/4R ですので、 出た式をこれから引きますと、 △DEF=(abc/4R){2abc/(a+b)(b+c)(c+a)} となるはずです。 そうして、△ABC:△DEF=1:2abc/(a+b)(b+c)(c+a)となります。 (1)例えば正弦定理などを用い、式を整理された形で立てる (2)間違わず、煩雑な式を地道に計算していく(頑張ってください!) この辺がポイントだと思います。

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質問者からのお礼

回答ありがとうございます。

  • 回答No.1
  • gohtraw
  • ベストアンサー率54% (1630/2966)

例えば△FADと△ABCを比べると AD=AB*a^2/(a+b) FA=AC*ca/(c+a) なので前者の面積は後者の面積の ca^3/(a+b)/(c+a)倍 になります。同様に△EBDと△CFEの面積も表わすことができるので△ABCから引いてやれば△DEFの面積を△ABCとの比で表わすことができると思います。

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質問者からのお礼

回答ありがとうございます。

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