パップスの中線定理（スチュワートの定理）、二等分線の定理

質問

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E7%B7%9A
によると、

三角形 ABC の3辺 BC,CA,AB の長さをそれぞれ a,b,c とし、頂点AとBCの中点を結ぶ中線の長さを m とすると、スチュワートの定理より以下の式が成り立つ。
4m^2+a^2=2(b^2+c^2)
∴m=√(2b^2+2c^2-a^2)/2

となることは分かります。次に、

三角形 ABC の3辺 BC,CA,AB の長さをそれぞれ a,b,c とし、頂角Aの二等分線とBCの交点を結ぶ線分の長さを n とするとき、この n をa,b,cのきれいな式で表したいのですが、どのような式になるのでしょうか？

回答No.1

debut · ベストアンサー

∠Ａ＝θ、∠Ａの二等分線とＢＣ の交点をＮとすれば、
面積公式から
ｂｎsinθ＋ｃｎsinθ＝ｂｃsin2θ＝２ｂｃsinθcosθ
sinθでわって、(ｂ＋ｃ)ｎ＝２ｂｃcosθ・・・☆

一方、ＢＮ：ＮＣ ＝ｃ：ｂより、ＢＮ＝ｃｋ、ＮＣ＝ｂｋ
とすれば、ＢＮ＋ＮＣ＝ａからｋ＝ａ/(ｂ＋ｃ)
よって、ＮＣ ＝ａｂ/(ｂ＋ｃ)となり、△ＡＣＮで余弦定理を
使い　cosθ＝{ｂ^2＋ｎ^2－ａ^2ｂ^2/(ｂ＋ｃ)^2}/２ｂｎ

これを☆に代入して　整理　ｎについて解けば
　ｎ＝{１/(ｂ＋ｃ)}√{ｂｃ(ａ＋ｂ＋ｃ)(－ａ＋ｂ＋ｃ)}

お礼

ありがとうございます。√の中が因数分解されて、きれいですね。

回答No.4

zarbon

No.2です。

参考サイトがありますので、参照してください。

参考URL：

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/urawaza/angle.htm

お礼

よくわかりました。まことにありがとうございます。

回答No.3

zarbon

No.2です。

補足ですが、スチュワートの定理と中線定理は別です。
スチュワートの定理で、BC上のDをBCの中点としたものが
中線定理です。

回答No.2

zarbon

「角の二等分線定理」というものがあります。

△ABCで∠Aの二等分線とBCの交点をDとすれば、

AB×AC = BD×DC + AD^2

が成り立ちます。

スチュワートの定理と、AB：AC = BD：DCから導かれるはずですので
やってみてはいかがでしょうか？