フェルマの小定理と位数に関する質問です

質問

問題）

pを素数とします。また、aをpで割り切ることのできない整数とします。

この時、a^n≡1(mod p)となる最小の正整数nをmとすると

p≡1(mod m)であることを証明したいです。

証明)

まず、フェルマの小定理より、

n=p-1のとき、a^n≡1(mod p)が成り立つことが分かります。

よって、n=p-1がa^n≡1(mod p)となる最小の正整数nの場合、

m=p-1なので、明らかにp-1をmで割り切ることができるため、

p≡1(mod m)である。

(ここからが分かりません。。。)

次に、n=p-1がa^n≡1(mod p)となる最小の正整数nでない場合、

つまり、m<p-1となるmが存在する場合、

そのmによって、p≡1(mod m)が成り立つことを証明したいのですが、よく分かりません。

どなたか詳しい方、ご教授お願いします。
途中までの証明も不適切(不要)でしたら指摘してください。

よろしくお願いします。

回答No.2

tmpname · ベストアンサー

正直にp-1がmで割り切れないとして矛盾を示せばよいです。
このとき
p-1 = mq + r, 1≦r<mなるrがあって、
1≡a^(p-1) = a^(mq+r) = (a^m)^q * a^r = a^r(mod p)であって、
mが「a^n≡1(mod p)となる最小の正整数」というのに矛盾します。

あるいは体Z/pZの乗法群Gは位数p-1の群で、<a>は
Gの部分群であるから、aの位数はGの位数p-1の約数です。

お礼

ありがとうございます。

前半の部分で理解しました。

回答No.1

koko_u_u

タイトルにある「位数に関する質問」とはどこからきたのですか？

補足

pを素数とします。また、aをpで割り切ることのできない整数とします。

この時、a^n≡1(mod p)となる最小の正整数nをmとするとこのmをmod pにおけるaの位数というと理解しています。

で、

ord_p(a)=m

と書くと。

で、その位数mにおいて、

p≡1(mod m)であることを

証明する問題なので、そう記載した次第です。

参考：http://akademeia.info/index.php?%B8%B5%A4%CE%B0%CC%BF%F4