フェルマーの定理の式でn=-1,-2のときは?

質問

x^n+y^n=z^nの自明でない整数解を求める問題があります。

n≧3のときには、存在しません。フェルマーが予想し、ワイルズが証明しました。

n=2のときには、ピタゴラス数といってたくさん解がありますが、たとえば、
d , m , n を任意の自然数として，
x = d(m^2 - n^2), 　y = 2dmn, 　z = d(m^2 + n^2)
といった解があります。
また、一つのピタゴラス数から次々に別のピタゴラス数を生成し、それで全部が尽くされる方法も知られています。
http://mathworld.wolfram.com/PythagoreanTriple.html

n=1のときには、つまんない問題になります。

n=0のときには、存在しません。

n≦-3のとき、存在しないことは、すぐに考えれば分かると思います。

なので、問題なのは、n=-1,-2のときで、このとき解は無数に存在しますが、どう書き表せるのでしょうか?
または、解を次々生成していく方法や、性質などはあるのでしょうか？

回答No.1

noname#47894

x^(-2)+y^(-2)=z^(-2)　を満たす自然数の組（x,y,z）を見つけたとして、
（x,y,z）＝（c/p、c/q、c/r）（p、q、rは自然数）を満たす、自然数cが存在します（例えばcは最小公倍数）。
このとき、(c/p)^(-2)+(c/q)^(-2)=(c/r)^(-2)なので、
結局、p^2+q^2=r^2　が成り立ちます。
したがって、ピタゴラス数（p,q,r）の組から、最小公倍数を求め、
それを、p,q,rでそれぞれ割れば、x^(-2)+y^(-2)=z^(-2)
を見たす整数の組がみつかるのではないでしょうか？

（３，４，５）から、（２０，１５，１２）とか....

x^(-1)+y^(-1)=z^(-1)　も同様に
（１，１，２）から、（２，２，１）とか...

補足

http://www.junko-k.com/cthema/21feruma.htm