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フェルマーの定理の式でn=-1,-2のときは?

x^n+y^n=z^nの自明でない整数解を求める問題があります。 n≧3のときには、存在しません。フェルマーが予想し、ワイルズが証明しました。 n=2のときには、ピタゴラス数といってたくさん解がありますが、たとえば、 d , m , n を任意の自然数として， x = d(m^2 - n^2), 　y = 2dmn, 　z = d(m^2 + n^2) といった解があります。 また、一つのピタゴラス数から次々に別のピタゴラス数を生成し、それで全部が尽くされる方法も知られています。 http://mathworld.wolfram.com/PythagoreanTriple.html n=1のときには、つまんない問題になります。 n=0のときには、存在しません。 n≦-3のとき、存在しないことは、すぐに考えれば分かると思います。 なので、問題なのは、n=-1,-2のときで、このとき解は無数に存在しますが、どう書き表せるのでしょうか? または、解を次々生成していく方法や、性質などはあるのでしょうか？

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noname#47894
noname#47894
回答No.1

x^(-2)+y^(-2)=z^(-2)　を満たす自然数の組（x,y,z）を見つけたとして、 （x,y,z）＝（c/p、c/q、c/r）（p、q、rは自然数）を満たす、自然数cが存在します（例えばcは最小公倍数）。 このとき、(c/p)^(-2)+(c/q)^(-2)=(c/r)^(-2)なので、 結局、p^2+q^2=r^2　が成り立ちます。 したがって、ピタゴラス数（p,q,r）の組から、最小公倍数を求め、 それを、p,q,rでそれぞれ割れば、x^(-2)+y^(-2)=z^(-2) を見たす整数の組がみつかるのではないでしょうか？ （３，４，５）から、（２０，１５，１２）とか.... x^(-1)+y^(-1)=z^(-1)　も同様に （１，１，２）から、（２，２，１）とか...

aiueo95240
質問者

補足

http://www.junko-k.com/cthema/21feruma.htm

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