三平方の定理についてです。

質問

x=z-a, y=z-b とおいたとき、a, b を含む、媒介変数表示の、ピタゴラス数３つ組を表す式を導き出せますでしょうか。

回答No.1

deshabari-haijo · ベストアンサー

＜ピタゴラス数の定理＞
1以外の公約数をもたないピタゴラス数x、y、z（x、y＜z）は、
x=m^2-n^2、y=2mn、z=m^2+n^2（m＞n）－(1)
と表せるものに限る。
ここで、m、nは1以外の公約数をもたない正の整数である。

x=z-a（a＞0）から、
m^2-n^2=m^2+n^2-a→n=√(a/2)－(2)
ここで、√(a/2)が整数になるためには、a=2c^2（cは0を除く整数）の形でなければなりません。
また、 y=z-b （b＞0）から、
2mn=m^2+n^2-b
m^2-2nm+(n^2-b)=0
これを、mについての2次方程式として、解の公式によって解くと、
m=n+√b（∵m＞n）
ここで、√bが整数になるためには、b=d^2（dは0を除く整数）の形でなければなりません。
これに、式(2)を代入すると、
m=√(a/2)+√b－(3)
式(2)と(3)から、mとnをaとbで表せたので、これらを(1)の3式に代入すると、x、y、zをaとbで表すことができます。

あとは、検算だけをしてみます。
c=3とすると、a=2×3^2→n=3（c＞0であれば、n=c）
d=2とすると、b=2^2→m=3+2=5（d＞0であれば、√b=d）
x=5^2-3^2=25-9=16→x^2=16^2=256
y=2×5×3=30→y^2=30^2=900
z=5^2+3^3=25+9=34→z^2=34^2=1156
よって、x^2+y^2=256+900=1156=z^2

参考URL：

https://mathtrain.jp/pythagoras

お礼

誠に有難う御座いました。

補足

逆は如何でしょうか。x,yをa,bで表せたら、m,nでも表せる、ということ、つまり、m,nで表される３つ組だけが一般解に成るということ、は証明できますでしょうか。