ピタゴラス数について。

質問

x^2+y^2=z^2の式を満たす自然数x,y,zをピタゴラス数と呼びますが、x,y,zがすべて素数になる組み合わせはありますか?つまりピタゴラス素数はありますか?
もしあるのなら、その組み合わせを教えてください。また無いのならば、なぜピタゴラス素数なるものは存在しないのか、証明していただけるとありがたいです。
ありがとうございます。

回答No.2

R_Earl · ベストアンサー

ありません。

まず、3つの自然数x, y, zが全て奇素数になる事はありません。
2つが奇素数だと残りの1つが必ず偶数になります。
例えばx = 2a + 1, y = 2b + 1とでもおいて、
x^2+y^2=z^2に代入してみてください。
するとzは偶数になる事が確認できます。
ちなみに同様の方法で、x, y, zのうち2つが偶数素数というケースや、
3つとも偶数素数というケースもありえないことが確認できます。
よってx, y, z全てを素数にしたいなら、
2つが奇数の素数、1つが偶数の素数(つまり2)となるはずです。

また、互いに素なピタゴラス数は
a^2 + b^2, 2ab, a^2 - b^2　（ただしaとbは互いに素で、aは偶数、bは奇数）
で表わされる事が知られています
(これは有名な話なので、調べればすぐに見つかると思います)。
2をピタゴラス数にするなら、2ab = 2となります(a^2 + b^2とa^2 - b^2は奇数なので)。
そうなるとa = 1, b = 1となってしまいます。
この時ピタゴラス数a^2 + b^2, 2ab, a^2 - b^2は2, 2, 0となってしまいます。

お礼

とてもわかりやすく教えていただきありがとうございます。なるほどと納得しました。互いに素なピタゴラス数の表し方を後で調べてみます。お二人とも、とても丁寧に教えてくださったので悩みましたがR Earlさんをベストアンサーとさせていただきます。

回答No.1

tmpname

結構簡単に、「そのような物は無い」という事が
分かります。

今、x,y,zが全て素数だとすると、それらは全て2以上です。
z=2は明らかに不適なので(左辺は少なくとも8以上）

1. x又はyが2の時
x=2として一般性を失いません。この時
(z+y)(z-y) = 4で、z-y≠0でないといけませんから
z-y≧1で、よってy+z≦4. これはy=z=2しかあり得ず、
z-y=0で結局不適。

2. よってx,y,zは2で無い時
この時x,y,zは全て奇数です（偶数の素数は2のみ）
よって左辺=偶数、右辺=奇数で不適です。

お礼

すぐに回答していただき本当にありがとうございます。少し今計算で戸惑っております。（今中3で計算自体は解けるのですが、少し頭がこんがらがってしまって・・・)でもがんばって考えて見ます。重ねて本当にありがとうございました。