ピタゴラス数について
- ピタゴラス数について
- ピタゴラス数とは、a^2 + b^2 = c^2を満たす自然数の組(a, b, c)のことです。
- (1) a,bのうち一方が素数のとき、もう一方は4の倍数であることを示せ。(2) a,bのうち一方が5以上の素数のとき、もう一方は12の倍数であることを示せ。(3) (2)を満たす自然数の組(a, b, c)は無数に存在することを示せ。
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ピタゴラス数について
ピタゴラス数について a,b,cはa^2+b^2=c^2を満たす自然数とする。 (1) a,bのうち一方が素数のとき,もう一方は4の倍数であることを示せ。 (2) a,bのうち一方が5以上の素数のとき,もう一方は12の倍数であることを示せ。 (3) (2)を満たす自然数の組(a,b,c)は無数に存在することを示せ。 (1),(2)は解けました。 (1) a,bのどちらも4の倍数でないとすると,a^2,b^2を4で割った余りは0または1となる。したがって,a^2+b^2を4で割った余りは0または1または2となる。それぞれの場合を考えると矛盾が起こるため,背理法より少なくとも一方は4の倍数。aが素数だとすると,bが4の倍数となる。 (2) (1)と同様の考えで,少なくとも一方は3の倍数だとわかる。aが素数だとすると,a=2,3のときはbは12の倍数にならず,a≧5のときは(1)よりbは3の倍数かつ4の倍数,すなわち12の倍数となる。 しかし,(3)がわかりません。「無数に存在する」というのは,(2)を満たす(a,b,c)が何らかの漸化式を満たしていくのでしょうか？(初項=(5,12,13)みたいな) どなたか教えてください。
- tksmsysh
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一番簡単なのは、c=b+1のパターンですね。 a^2+b^2=(b+1)^2 a^2=2b+1 b=(a^2-1)/2 aが５以上の素数なら、bは整数なので、 (a,(a^2-1)/2,(a^2+1)/2) はピタゴラス数です。 素数は無数にあるので、(2)を満たす組も無数にあります。
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- koko_u_u
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＞を満たす(a,b,c)が何らか の漸化式を満たしていくのでしょうか？ いいえ。そのような強い結論を求められているわけではありません。
お礼
ご回答ありがとうございました。
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お礼
ご回答ありがとうございました。 この方法ならc=b+m(mは自然数)で他にも作れそうですね。