平方数の証明

質問

(x^2+y^2)と(x^2-y^2)の二式が共に平方数になるための自然数x,yが存在しないことを証明してください。

回答No.3

staratras

この問題は、見かけの単純さに比べて、証明は結構面倒です。ただし難しい計算はなく特別な定理が必要なわけでもありません。

x^2+y^2=a^2とx^2-y^2=b^2　(x,y,a,bは自然数)がともに成り立つと仮定して、x'^2+y'^2=a'^2とx'^2-y'^2=b'^2(x',y',a',b'は自然数) かつx'^2+y'^2<x^2+y^2 である自然数x',y',a',b'が存在することを導きます。

この操作はどこまでも可能なので、与えられた自然数x,yより小さな自然数が無数にあることになり、成り立たつとした仮定は誤りであるという論法（無限降下法）になります。以下この方法で試みます。

x^2+y^2=a^2…(1)　x^2-y^2=b^2…(2) (x,y,a,bは自然数) (1)(2)がともに成立すると仮定する。ここでx,yは互いに素である場合のみを考えても一般性を失わない。このときx,yの両方が偶数であることはなく、また平方数の4で割った余りは1(奇数の場合)または0(偶数の場合)なのでx,yの両方が奇数であることもない。したがってa^2とｂ^2はともに奇数となるので(1)(2)をともに満たす、互いに素な奇数a,bが存在する。
(1)-(2)からa^2-b^2=(a-b)(a+b)=2y^2　…（３） が成り立つ。a,bは互いに素な奇数であるから(a-b)と(a+b)の最大公約数は2となり、その一方だけは4で割り切れる。ここでa-bが4で割り切れるとしても一般性を失わない(以下の4c^2と2d^2が入れ替わるだけ）から、このとき互いに素な奇数c,dが存在して
a-b=4c^2,a+b=2d^2　すなわちa=d^2+2c^2,b=d^2-2c^2が成り立つ。

このとき（３）からy^2=(a+b)(a-b)/2＝4c^2d^2、（１）＋（２）/2からx^2=d^4+4c^4　となるので、d^2と2c^2とはxを斜辺とするピタゴラス三角形(3辺がすべて整数の直角三角形)の2辺である。両者は互いに素で偶奇性も逆(一方が偶数なら他方は奇数)であるから、互いに素で偶奇性も逆な2つの正の整数e,fによって、2c^2=2ef,d^2=e^2-f^2,すなわちef=c^2、(e-f)(e+f)=d^2 とすることができる。これらの式から、e,f,e+f,e-fはいずれも平方数であることがわかる。…(4)

初めにx^2,y^2,x^2+y^2,x^2-y^2について同様の性質を持つと仮定したが、d^2=e^2-f^2から、e+f<d^2<x^2+y^2…(5)が導かれる。

(1),(2）,(3）,(4),(5)から和も差も平方数であるような平方数が存在すると仮定すると、別にそれと同じ性質を持ち、かつ和が前のものより小さい2つの平方数が得られることになる。この操作はどこまでも続けることができるので、これを続ければ同じ性質を持つ数からなる、減少無限数列が得られることになるが、一つの自然数が与えられたときこれより小さい自然数が無数にあるということはあり得ないので、これは起こり得ない。したがって(1)(2)をともに満たす自然数x,y,a,bは存在しない。(証明終わり）

回答No.2

上野 尚人（@uenotakato）

かなり難解な証明しか見つからないです。
このページから始まる「フェルマの数論45～52」に記載されています。

http://reuler.blog108.fc2.com/blog-entry-2317.html

回答No.1

shintaro-2

それぞれA^２B^2とします。

A^2+B^2=２X^2　（１）
B^2-A^2＝2y^2　（２）
（２）よりB>A　（３）
A,Bは自然数であるから
（３）よりB^2>A^2（４）
与えられた式より
（４）は
(x^2+y^2)＜(x^2-y^2)
明らかに矛盾します。