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「n! は平方数にならない」?

 以前,大学の入試問題で(どこ大学かは失念しました), 「1 から 10 までの自然数を 2 グループに分け,それぞれ積をとる。このとき 2 つの積が一致することはあるか」 というものがありました。  答えは「ない」で,それは 10! が平方数にならない,ということなのですが,ポイントとしては,「10 までの自然数の中には 7 の倍数は 1 つしかないから,2 つのグループの一方は 7 の倍数で,他方は 7 の倍数でない,だから一致しえない」ということでした。  そこで疑問なのは,これは一般の 2 以上の自然数 n について,n! は平方数にならないのか,ということです。  これは,【n/2 から n までの間に素数が必ず存在する】ことが証明できればよくて,実際そうであって,「n! は平方数にならない」は真とのことでした。  ところがこの【 】の部分の証明が,簡単に流されているものが多くて,釈然としません。  この証明の全容がわかる文献か,または証明のポイントをご教示願えますか。

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質問者が選んだベストアンサー

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  • 回答No.3

実は以下の性質があります(この証明のポイントともいえるもの)。 mを1以上の自然数とするとm<p≦2mを満たす素数がpが必ず存在する。・・・※ これは、質問文中の,【n/2 から n までの間に素数が必ず存在する】を少し言い換えたものです。 ※はベルトランの仮説ともチェビシェフの定理とも呼ばれ、証明は意外と大変です。 この定理の証明があるPDFを載せて置きます。

参考URL:
http://www1.ocn.ne.jp/~yoshiiz/pdf/chebyshev.pdf

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質問者からのお礼

 ご回答ありがとうございます。  PDF を拝見しましたが,なるほど大変な証明です。じっくり理解したいと思います。

その他の回答 (2)

  • 回答No.2

質問は【n/2 から n までの間に素数が必ず存在する】ことが証明できるか、ですね。 そう簡単には証明できないと思います。自然数 n 以下の素数の個数をπ(n) と書くと、ガウスの素数定理 π(n) ~ n/log(n): log は自然対数 が成立しますが、これから [n/2, n] に素数があるとは確言できないような気がします。

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質問者からのお礼

 ご回答ありがとうございます。  No. 3 のご回答で【n/2 から n までの間に素数が必ず存在する】証明をご紹介いただけました。

  • 回答No.1

 1からn/2までに素数pがあったとしても、その場合はn/2からnの間に必ず2pが存在しますから、2グループに分けた時に積を一致させることができます。  しかしn/2からnにおいて素数qがあれば、1からnの範囲で素因数qを持つ自然数はありませんね(素因数qをもつ自然数とはq,2q,3q・・・なので2qの時点でnを超える自然数だからです)。だから2グループに分けれません。

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質問者からの補足

 答えは「ない」でよさそうなのですが,問題は, 【n/2 から n に素数は必ずあるか】 ということなのです。この証明をご存じでしたらご教示ください。

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