フェルマーの最終定理に関連して

質問

変な質問で申し訳ないのですが、n が 3 以上の整数の時

　　x^n + y^n = z^n

を満たす有理数の組 (x,y,z)、もしく実数の組 (x,y,z)は存在するのでしょうか。

回答No.4

statecollege · ベストアンサー

以下に示すように、証明は簡単ですよ。トライしてみました？

フェルマーの最終定理とは、ｎが3以上の整数のとき、言及された式を満たす整数の組（x,y,z)が存在しない、ということです。
・まず、実数の組が存在することは簡単にわかります。いま、aとｂを任意の正の実数としましょう。x＝a、y=bとおき、ｚについて解く。
z=(a^n + b^n)^(1/n)
は簡単に求まる。これをｃとおくと、３つの実数の組(a,b,c)が与えられた式を満たす実数解の一つです。
・与えられた式を満たす有理数の組が存在しないことは「フェルマーの最終定理」から簡単にわかります。背理法で説明しましょう。いま、与えられた式を満たす有理数の組（a/b,c/d,e/f)が存在するとしましょう。ただし、a,b,c,d,e,fは正の整数である。これらを式に代入すると
(a/b)^n + (c/d)^n = (e/f)^n
よって、両辺に(bdf)^nを掛けると
(dfa)^n + (bfc)^n = (bde)^n
を得る、矛盾。なぜなら、（dfa, bfc, bde)は整数の組だから、フェルマーの最終定理に反するからである！

お礼

丁寧な回答ありがとうございました。他の方にもお礼申し上げます。

回答No.3

m-take0220

単に有理数だと、0と1の組み合わせが含まれるので、存在することになりますね。失礼しました。

回答No.2

Nobu-W

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%9C%80%E7%B5%82%E5%AE%9A%E7%90%86
上記サイトで・・・存在しない事が、証明されたという記事がありました
　m(_ _)m　　私には解らない世界ですっ　＞＜

参考URL：

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%9C%80%E7%B5%82%E5%AE%9A%E7%90%86

回答No.1

m-take0220

有理数はないですね。あると仮定すると、条件を満たす整数も存在することになります。
実数であれば普通に存在します。