問題がわかりません

質問

少し前にも聞きました質問に、もう一つ質問をさせて下さい。

x,y,z,n は０以上の整数とする場合、

１) x+ｙ＝5 を満たすx+yの組（x,y)はいくつあるか。
２）x+y ＝n を満たすx+yの組(x.y)はいくつあるか。
３）x+y+z=5 を満たすx,y,zの組(x,y,z)はいくつあるか。

この全ての答えはどうなるのでしょうか。ご存じの方、教えてください。お願いします。

回答No.3

ereserve67 · ベストアンサー

以前回答したものです．これは有名問題で次のようにすると一遍に解けます．

Q．n,rを正の整数とするとき，x_1+x_2+・・・+x_r=nの0以上の整数解(x_1,x_2,・・・,x_r)の個数を求めよ．

A．n個の○を準備します．これにr-1個の仕切りを配置し左から1,2,・・・,r-1とします．

x_1：～1の○の個数
x_2：1～2の○の個数
・・・
x_r：r-1～の○の個数

例えばn=5,r=4のとき

○|○○||○○⇔(x_1,x_2,x_3,x_4)=(1,2,0,2)
|○○○|○|○⇔(x_1,x_2,x_3,x_4)=(0,3,1,1)

のように一対一に対応します．したがって求める個数はn個の○とr-1個の仕切りの同じものを含む順列の総数で

（☆）(n+r-1)!/{n!(r-1)!}=(n+r-1)C(n)=(n+r-1)C(r-1)

となります．これがすべてのケースをカバーする答です．

[1]n=5,r=2で6C1=6
[2]r=2で(n+2-1)C1=(n+1)C1=n+1
[3]n=5,r=3で7C2=21

※n=0のときはx_1=x_2=・・・=x_r=0の1個です．これも☆で二項係数を一般化すれば成り立つようにできます．

お礼

詳しく説明して頂きありがとうございました。よくわかりました。

回答No.4

alice_44

繰り返し質問する理由が解らないなあ。
前回の(1)(2)が、今回の(2)(3)と全く同じですが、
今回の(1)は、(2)に n=5 を代入するだけです。

(1)から(3)へ、未知数の個数を増やしてゆく
ことを考えるなら、(1)の更に手前に、
(0) x=n の解 x は何個か？
を考えてみてもよいでしょう。
(0) の答えは、無論、1 個です。それを踏まえて、
(1) を x=5-y と書き換えると、
解 x が在るような y の範囲が y=0,1,2,3,4,5
その各々について、(0) のように 1 個づつの解
があるのだから、合計では 1+1+1+1+1+1 個です。

(2) は、5 を n に替えて (1) 同様にできるし、
(3) は、x+y=5-z と変形して、z の範囲を考え、
各 z に対する (2) の答えを合計すれば求まる。
前回書いたとおりです。

未知数の個数が更に増えた場合にも、同様に、
最後の一個の未知数を移項することで、漸化できます。

お礼

くわしく説明をして頂きありがとうございました。

回答No.2

hg3

難しいことは考えずに、ひとつひとつ数えれば小学校の算数の知識で解けると思いますが。

１） 0+5, 1+4, 2+3, 3+2, 4+1, 5+0の6組でしょう。

２）これはちょっと応用が必要ですが、1)と同様に考えれば、
　　0+n, 1+(n-1), 2+(n-2), ・・・,n+0　となりますからn+1組。

３） 0+0+5, 0+1+4, 0+2+3, 0+3+2, 0+4+1, 0+5+0
1+0+4, 1+1+3, 1+2+2, 1+3+1, 1+4+0
2+0+3, 2+1+2, 2+2+1, 2+3+0
3+0+2, 3+1+1, 3+2+0
4+0+1, 4+1+0
5+0+0
　　ですね。

お礼

詳しく教えてもらい有難うございました。

回答No.1

noname#231223

２）はｎに関する情報が「０以上の整数」しかないですが、前の質問と関連した問題でしょうかね。

１）ｘ＋ｙ＝５に合致する（ｘ，ｙ）ですから、たとえばｘ＝０のとき、ｘ＝１のとき・・・と考えていけばいいでしょう。

（０，５）（１，４）（２，３）（３，２）（４，１）（５，０）

これだけです。

３）も同様です。

（０，０，５）（０，１，４）（０，２，３）（０，３，２）（０，４，１）（０，５，０）
（１，０，４）（１，１，３）（１，２，２）（１，３，１）（１，４，０）
（２，０，３）（２，１，２）（２，２，１）（２，３，０）
（３，０，２）（３，１，１）（３，２，０）
（４，０，１）（４，１，０）
（５，０，０）

数えるくらいはご自分でどうぞ。

お礼

詳しい説明をありがとうございました。