重複組合せの問題

質問

重複組合せの問題です。
問題集の解説を読んでも理解できません…。
どなたか教えてください。
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x＋y＋z＝11の解のうち、次の条件を満たすx，y，zの組（x，y，z）は全部で何組あるか。

(１)x，y，zは、すべて0以上の整数

(２)x，y，zは、すべて正の整数
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すみませんがよろしくお願いします。。

回答No.2

Takeshi-Gouda · ベストアンサー

重複組合せの問題は○と/で考えると分かりやすいです。

今回の問題では、x+y+z=11ということなので、

○○○/○○○○/○○○○

といった感じで、１１個の○を２つの/で分割し、３つの領域に分けることを考えます。
上記の例では、前に○が３つ、真ん中に○が４つ、後ろに○が４つ並んでいるのが分かると思います。

前をｘ、真ん中をｙ、後ろをｚとすると、
ｘ＝３、ｙ＝４、ｚ＝４
となると考えます。これを前提として(1)(2)を解いていきます。

(１)x，y，zは、すべて0以上の整数

0以上の整数ということですから、３つの中で○のない領域があってもよいと考えます。
例えば

/○○○○○/○○○○○○

といった風に、x=0、y=5、z=6とすることができると考えます。

この時、１１個の○と２つの/、計13個の記号が横一列に並ぶパターン数は「13!」になることが分かると思います。
しかし、２つの/が入れ替わった場合を重複して数えてしまってます。例えば、２つの/を/A、/Bとすると、

/A○○○○○/B○○○○○○
/B○○○○○/A○○○○○○

はどちらもx=0、y=5、z=6になることが分かり、「13!」では重複して数えてしまっています。
よって、/を考慮した組合せは「13!/2!」となります。

そうすると、○についても考慮する必要があります。例えば、

/A●◎○○○/B○○○○○○
/A◎●○○○/B○○○○○○

と、●と◎の場所は入れ替わりましたが、x=0、y=5、z=6というのはどちらも変わりません。
よって○の重複分を考慮して考える必要があり、考慮した際の組合せは「(13!/2!)/11!」となります。

後は計算すれば、７８通りになります。

(２)x，y，zは、すべて正の整数

正の整数ということですから、３つの領域に必ず○が１つないとダメという問題になります。
しかし、そう考えるとややこしくなるので、

あらかじめ、x,y,zに○を１個ずつ与えておきます。すると残りは

○○○○○○○○

と○が８個残り、これをどう３つの領域に分ければよいか、という問題に変わります。
すでにx,y,zに○を１個ずつ与えているので、残り８個を３つの領域で分けた場合、○が１つもない領域ができてもＯＫになることがわかると思います。

そうなると、解き方は前問（１）と同様に、○８個と/２個で３つの領域に分けるパターン数を数えればよいだけになります。

よって、「10!/(2!*8!)」となり、答えは45通りになります。

いっぱい書いてみたけど、ややこしいかな・・・？

お礼

とてもわかりやすいです！
こんな問題自力じゃ絶対にむりでした…。
数学ニガテなもので^_^;
感謝します。

回答No.1

wild_kit

その問題集の解説を丸写ししてくれると、もっと楽に解けたんだろうなぁ。
今回はひたすら組み合わせを考えるという力業です。(^_^;)

　（１）ｘ＞＝０，ｙ＞＝０，ｚ＞＝０（ただし、ｘ，ｙ，ｚは整数）
（１１，０，０）＜３＞，（１０，１，０）＜６＞，（９，２，０）＜６＞，（９，１，１）＜３＞，（８，３，０）＜６＞，
（８，２，１）＜６＞，（７，４，０）＜６＞，（７，３，１）＜６＞，（７，２，２）＜３＞，（６，５，０）＜６＞，
（６，４，１）＜６＞，（６，３，２）＜６＞，（５，５，１）＜３＞，（５，４，２）＜６＞，（５，３，３）＜３＞，
（４，４，３）＜３＞

３通りｘ６＋６通りｘ１０＝７８通り

　（２）ｘ＞０，ｙ＞０，ｚ＞０（ただし、ｘ，ｙ，ｚは整数）
（９，１，１）＜３＞，（８，２，１）＜６＞，（７，３，１）＜６＞，（７，２，２）＜３＞，（６，４，１）＜６＞，
（６，３，２）＜６＞，（５，５，１）＜３＞，（５，４，２）＜６＞，（５，３，３）＜３＞，（４，４，３）＜３＞

３通りｘ５＋６通りｘ５＝４５通り

『（）』は数字の組、『＜＞』はそれで何通りできるかを示しています。
正しい解き方は、他の方を待ちましょう。

お礼

お手数かけてすみませんでした…。
次回からは解説もつけるようにします！