高１・数Ａ・場合の数の問題

質問

高１・数Ａで、解答や計算式を見ても分からない問題があります。
この問題で解答に至るまでの考え方が分かる方、ぜひ教えてください＞＜

x+y+z=10のとき、次の条件を満たす（x,y,z）は何組あるか。
（１）x,y,zは負でない整数
（２）x,y,zは正の整数

解答：（１）12C2=66（組）（２）9C2=36（組）

回答No.3

naniwacchi

＞１２個の場所から○を入れる１０個の場所を選ぶ方法の総数を求めるんですよね？
そのとおりです。

最後にですが、「12個から10個選ぶこと」と「12個から2個選ぶこと」は同じになります。
よって、12Ｃ10＝12Ｃ2となります。
公式では、nＣk＝nＣ(n-k)と書かれています。
計算しやすい方を選ぶことができます＾＾

お礼

12C10=12C2ならば、（２）も9C7=9C2とすることができますよね＾＾

とっても分かりやすかったです＾＾
やり方や解答を見ても、理屈が分からなきゃ気が済まなくて；；
ちゃんと納得して解けました～ありがとうございます！

回答No.2

naniwacchi

もう一度考えた後であればよいのですが^^;

「しきり棒」までは出ていたのですね。
そこでまさしく、一度仕切り直しましょう。

「10個の球を2本の棒で仕切る」とは、「一列に並べて」ということですね。
絵にしてみるとどうですか？
・「合わせて12個のものが一列に並ぶ」としてもいいですし
・「10個の球が並んでいる間に棒を置く（端も可）」と考えてもいいです。

(1)が分かれば、(2)はちょっとした工夫でできてしまいます。
がんばってください。

お礼

なんとなく分かったような気がします＾＾
つまり、
○○○l○○○○l○○○
のように仕切って、１２個の場所から○を入れる１０個の場所を選ぶ方法の総数を求めるんですよね？

この考え方でやると、すんなり解けました★
丁寧な解説ありがとうございました！！

回答No.1

naniwacchi

まず、「負でない整数」と「正の整数」の違いをはっきりしなければなりません。
・「負である」とは式で書けば x＜0ということですから、「負でない」とは x（ ）0となります。（）内は考えてみてください。
・「正の数」とは x＞0のことですね。よって、「正の整数」＝「自然数」です。

問題を次のように言い換えてみてください。
「10個の球をx,y,zの3つの箱に分ける。この分け方は何組あるか？」
ただし、
・「0個となる箱があってもよい」場合と
・「少なくとも1個は入っていなければならない」場合
のそれぞれが問題となっています。

実際式を立てるときには、箱へ分ける代わりに「しきり棒」で分けることを考えます。
（棒で分けられたものを箱へ入れると考える）
3つに分けるのに必要な「しきり棒」は何本必要かも考えてみてください。

お礼

早い回答ありがとうございます！

「負でない整数」と「正の整数」の違いは分かってます。
「負でない」はx>=0ですよね。

箱の例はすごく分かりやすかったのですが、しきり棒というのが授業で聞いた時からよく分かりません＞＜

しきり棒の本数は２つだと分かるのですが、そこから12C2となるのが納得できません；；
しきり棒の数もCの左側の数字に入れてしまう理由が…。

でも考え方はすごく参考になりました＾＾
もう一度考えてみようと思います！！