たすけてください。組み合わせの問題

質問

みなさま・・・お力をおかしください。

整数Ｘ、Ｙ、ＺがＸ＋Ｙ＋Ｚ＝20、Ｘ＞1、Ｙ＞2、Ｚ＞3を満たすとき
、Ｘ、Ｙ、Ｚの組の総数は？

お願いします。どうかお力添えを

回答No.4

hatake333

重複組合せの問題ですね．

x > 1 , y > 2 , z > 3 , x,y,zは整数　より，
　　x ≧ 2 , y ≧ 3 , z ≧ 4
が成立し，このとき，
　　x - 2 ≧ 0 , y -3 ≧ 0 , z - 4 ≧ 0
である．よって，x + y + z = 20 は
　　(x - 2) + (y - 3) + (z - 4) = 11
と変形できる．ここで，X = x -2 , Y = y - 3 , Z = z - 4 とおくと，
　　X + Y + Z = 11
となり，問題は次のように書き換えられる．
　「X + Y + Z = 11 を満たす，0以上の整数X,Y,Zの組の総数を求めよ」
これは，典型的な重複組合せの問題で次のように考えます．
11個の丸「○」と2つの仕切り「｜」を1列に並べて，
　　○○○○○○○○○○○｜｜
仕切りで一番左側に分けられた○の個数がX，仕切りに挟まれた○の個数がY，仕切りで一番右に分けられた○の個数がZとする．
たとえば，
　　○○｜○○○○○○｜○○○　⇒　(X,Y,Z) = (2,6,3)
　　｜○○○○○○○｜○○○○　⇒　(X,Y,Z) = (0,7,4)
　　○○○○○｜｜○○○○○○　⇒　(X,Y,Z) = (5,0,6)
といった感じです．
そうすると，求める総数は結局，○11個と｜2つの同じものを含む組合せの総数になりますので
　13Ｃ2
で求めることができます．

回答No.3

fukuda-h

重複組み合わせですね。
こんなふうに考えます。
20個のボール（ここでは○であらわしましょう）をＸ、Ｙ、Ｚ，の3人に配ります。ただしＸさんにはＸ＞1から2個以上、ＹさんにはＹ＞2から3個以上、ＺさんにはＺ＞3から4個以上を配ります。
これがモデルになります。

ここで少し工夫をしますます。まず、最低もらわないといけないボールを先にＸ，Ｙ,Ｚさんに配ってしまいます。
Ｘさんに2個、Ｙさんには3個、Ｚさんには4個先にあげます。9個あげたので残りは11個をＸ、Ｙ、Ｚさんに配ればいいことになります。

ここまでは組み合わせを使っていません。これからです。
この問題を解くアイデアはこれからです。
さて、残ったボールを○であらわし1列に並べます。これに2本の縦棒を用意して
ＯＯＯＯＯＯＯＯＯＯＯ｜｜
を並べ替えます。
たとえば、ＯＯＯ｜ＯＯＯＯ｜ＯＯＯＯＯ
これをＸは3個、Ｙは4個、Ｚは5個もらったと読みます。
3人に分けるので縦棒が2本あればいいと解ればＯＫです。
｜ＯＯＯＯＯＯＯＯＯ｜ＯＯ
となった時はＸは0個Ｙは9個Ｚは2個と解読します。
先に、最低もらわないといけない個数を配ってあるので今度は0個があってもいいわけです。
この考え方で、11個のＯと2本の縦棒の並べ方でボールの配り方が決まってしまうことに気がつけばこのタイプの問題は完全制覇です。

計算式は・・・・・・・・
同じものを含む順列と考えて階乗を使うと、１３！/（11！×２！）
組み合わせであらわすとＣを使って、１３Ｃ２でも１３Ｃ１１
これを３Ｈ１１と書くのが重複組み合わせです。

よって解答はこんな式です。
Ｘ、Ｙ、ＺがＸ＋Ｙ＋Ｚ＝20、Ｘ＞1、Ｙ＞2、Ｚ＞3
より、Ｘ-２＝ｘ、Ｙ-3＝ｙ、Ｚ-４＝ｚ
とおくとx+y+z=11,x,y,z≧０
よって１３Ｃ２
大変難しいのでわかってもらえるとうれしいですね。

回答No.2

take_5

x-1＝a、y－2＝b、z－3＝cとすると、x＋y＋z＝20、x＞1、y＞2、z＞3に代入すると、a＋b＋c＝14、a＞0、b＞0、c＞0。
そこで、c＝14-a-bをc＞0に代入すると、0＜a＋b＜14であるから、a＋b＝1、2、‥‥、12、13。
aもbも正の整数から、（a＋b、c）＝（2、12）、‥‥となり、限られている。但し、a、b、cは入れ替えてもよいから。。。。

回答No.1

koko_u_

がんばって数えても大した数ではない。