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>関係式x^a=y^b=z^c=xyzを満たす1とは異なる3つの正の実数の組(x,y,z)が、少なくとも一組存在するような、正の整数の組(a,b,c)をすべて求めよ。 関係式から、xyz = x^{(1 + a/b + a/c) } = x^a 。 x の指数を等置して、bc + ac + ab = abc 、つまり (a-1)bc - ab - ac = 0 。 ・ a =0: x^0 ≡ 1 なので除外。 ・ a=1: b+c = 0 b, c の一方が負になり除外。 ・ a=2: 0 = bc - 2b - 2c → 4 = (b-2)*(c-2) > bはc以下でa以上 なる解は、{a, b, c } = {2, 3, 6 } & {2, 4, 4 } ・ a≧3: 整数にならないか?
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- alice_44
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対数をとれば、斉次線型方程式になる。 非自明解の存在条件は、行列式=0。
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