重積分の面積問題。お願い！

質問

a>0を正の実数とする。xyz空間内のx^2+y^2=a^2で決まる円柱の表面の内、0＜=y<=zである部分の面積を求めよ。

回答No.5

info22_

No.1です。

ANo1の補足と訂正

最初に求める面積の部分の図を添付します。
図の青い色の円筒の表面積です。
他の回答者も指摘されているように
勿論、問題の「0＜=y<=zである部分の面積」は
正しくは「0<=z<=yである部分の面積」
の間違いですね。

添付図は、上の訂正をした後の円筒部分の図で、曲面の面積公式を適用しやすいように曲面を
y=√(a^2-x^2)
で表しています。積分領域Dを
ANo1は
D={(x,z)|-a≦x≦a,0≦z≦a｝
としていますが、これは
D={(x,z)}-a≦x≦a,0≦z≦√(a^2-x^2)}
の間違いなので訂正します。
この訂正により、ANo1の回答は影響を受けます（訂正後の方が積分が簡単になる）。以下のように訂正して下さい。

曲面の積分公式は
　面積S=∫∫[D]√{1+(dy/dx)^2+(dy/dz)^2}dxdz
この問題の場合
　y=√(a^2-x^2)なので　dy/dz=0,dy/dx=y'なので
>面積S=∫∫[D] √(1+y'^2)dxdz

ここから積分領域を訂正して
>=∫∫[D]a/√(a^2-x^2)dxdz,D={(x,z)|-a≦x≦a,0≦z≦a}×
=∫∫[D]a/√(a^2-x^2)dxdz,
　D={(x,z)|-a≦x≦a,0≦z≦√(a^2-x^2)}

>=2∫∫[D]a/√(a^2-x^2)dxdz,D={(x,z)|0≦x≦a,0≦z≦a}×
=2∫∫[D]a/√(a^2-x^2)dxdz,
　D={(x,z)|0≦x≦a,0≦z≦√(a^2-x^2)}

累次積分の積分範囲を訂正
>=2∫[0→a] dx∫[0→a] a/√(a^2-x^2)dz　×
=2∫[0→a] dx∫[0→√(a^2-x^2)] a/√(a^2-x^2)dz

被積分関数が積分変数zと無関係(定数)なのでzで積分すると
>=2∫[0→a] (a^2)/√(a^2-x^2)dx　×
=2∫[0→a] a dx
と定数の積分になる。

>=2(a^2)[sin^-1(x/a)][0→a] ×
=2a[x][0→a]

>=2(a^2)sin^-1(1)　×
>=πa^2 ×
=2a^2

以上です。
zの積分範囲は
0≦z≦y=√(a^2-x^2)
なので
0≦z≦√(a^2-x^2)
のつまらないミスでした。

失礼しました。

回答No.4

151A48

参考：
ｘ軸からθ回転すると円周上をａθ進み，そのときの切り口の高さがａｓｉｎθ
（空間図形をうまく表示するスキルがないのでうまく説明できませんが・・・）
円柱を切り開いて展開図をかけば，
ｔ＝ａθとして　ａｓｉｎ（ｔ／ａ）を０からａπまで積分する問題になると思います。

回答No.3

ask-it-aurora

問題文が 0 <= z <= y の間違いだと思ったときの回答を書きます．

積分範囲を
D = { (x, y, z) | x^2 + y^2 = a^2, 0 <= z <= y }
とおきます．x = r cos(t), y = r sin(t) ( r > 0, 0 <= t <= 2π) で定義される円柱座標への変換変換をT: (x, y, z) |--> (r, t, z)とすると a > 0 より
T(D) = { (r, t, z) | r^2 = a^2, 0 <= z <= a sin(t) }
= { (a, t, z) | 0 <= z <= a sin(t), 0 <= t <= π }
となります．この変数変換のヤコビアンは r = a なので求める表面積を S とおけば
S = ∫_D dxdydz = ∫_T(D) a dzdt = a^2 ∫_{ 0 <= t <= π } sin(t) dt = 2 a^2
です．

## info22_さんの回答では答えが πa^2 となってますが，これは（計算を追うまでもなく）ちょっと大きいです；この積分範囲はナナメに円柱を切り取っているのに，πa^2 ではまっすぐ切り取ったときの面積と一致してしまいます．

回答No.2

ask-it-aurora

その式だと積分範囲が有界でないので問題の積分は発散すると思いますが…
0 <= z <= y の間違いじゃないですか？

回答No.1

info22_

x^2+y^2=a^2
y=√(a^2-x^2)
y'=-x/√(a^2-x^2)
√(1+(-x/√(a^2-x^2))^2)=a/√(a^2-x^2)
面積S=∫∫[D] √(1+y'^2)dxdz
=∫∫[D]a/√(a^2-x^2)dxdz,D={(x,z)|-a≦x≦a,0≦z≦a}
=2∫∫[D]a/√(a^2-x^2)dxdz,D={(x,z)|0≦x≦a,0≦z≦a}
=2∫[0→a] dx∫[0→a] a/√(a^2-x^2)dz
=2∫[0→a] (a^2)/√(a^2-x^2)dx
=2(a^2)[sin^-1(x/a)][0→a]
=2(a^2)sin^-1(1)
=πa^2