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面積分の問題
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次のように求めてください。 (1) 平面Sの単位法線ベクトルnを求めます。 (2) 内積A・nを求めます。 （x,zだけの式になりますので便宜上これをf(x,z)と置きます。実際に解くときはおく必要ありません。） (3) (2)で内積がxとzだけで表されていますので、平面S上の点をx,zだけで表します。 （便宜上ベクトルrとします。） (4) 面積素dSは∥∂r/∂x×∂r/∂z∥dxdzとなりますので、外積のノルムを求めます。 （∂r/∂x,∂r/∂zともに定ベクトルで、ノルムは平方根で表される定数になります。） (5) 積分区間はz(0≦z≦1)を固定してxの範囲を求めます。（これは一例です。） （zで表される不等式になります。） (6) 重積分の式を立て値を求めます。 ∫[z=0→1] ∫[x=?→?] f(x,z)∥∂r/∂x×∂r/∂z∥dxdz （結果は綺麗な分数になります。）
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- Mr_Holland
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＞xの積分区間がわかりませんでした。 zの制約がなければxは平面S:x+y+z=1 (x≧0,y≧0,z≧0)上を動くので 0≦x≦1 です。 しかしzが先に決まっているとき、xの移動できる範囲は狭められます。それを求めてください。 xyz空間上で考えるのが難しい場合は、平面Sをxz平面に投影して考えてもいいです。 平面Sを投影すると、直線x+z=1 とx軸,z軸の3直線で囲まれた直角二等辺三角形の部分になります。 ここでzを決めるということは直線z=zとの共通部分が求めることになり、その線分がxの可動範囲になります。 xの最小値はすぐに分かると思います。xの最大値をzの式で表してください。 そうするとxの可動範囲は決まりますので、それがxの積分範囲になります。
- Mr_Holland
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r,∂r/∂x,∂r/∂z,∂r/∂x×∂r/∂zはOKです。 ∥∂r/∂x×∂r/∂z∥の計算でミスしたようですね。 ∥∂r/∂x×∂r/∂z∥=√{(-1)^2+(-1)^2+(-1)^2}=√3 ですよ。 そうすれば私の計算と同じになります。 あとは積分区間ですね。
補足
xの積分区間がわかりませんでした。
- Mr_Holland
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＞n=1/√3(1,1,1)と1/√3になりました。 nは私のと同じですが、ノルムが異なります。 r,∂r/∂x,∂r/∂z,∂r/∂x×∂r/∂zはどうなりましたか？
補足
r=(x,1-x-z,z) (1,-1,0) (0,-1,1) (-1,-1,-1) になりました。 rの部分から合っているか不安でした。
- Mr_Holland
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ANo.1です。 ＞計算式は ∬(2-2z-2x)*1/√3 dxdz で合っていますか？ 惜しいのです。 係数が私の計算と異なります。 n,∥∂r/∂x×∂r/∂z∥はどうなりましたか？
補足
n=1/√3(1,1,1) と 1/√3 になりました。
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