ベクトル場の面積分に関してです

質問

１．半球面S：x^2+y^2+z^2=9, z≧0上でのベクトル場f = （-2x, 2y, z）において、
　　∬s f・dS を求めよ。ただし単位法線ベクトルnは上向きに取る。
　　　　（条件：面積分と極座標を用いなければならない）

２．半球面S：x^2+y^2+z^2=9, z≧0上でのベクトル場f = (2x, 2y, z)において、
　　∬s f・dS を求めよ。ただし単位法線ベクトルnは上向きに取る。
　　　　（条件：ガウスの発散定理を用いなければならない）

この2問がどうしても解けないので教えていただけないでしょうか？
特に、１．に関しては「式変形の流れ」、２．に関しては、閉局面として扱って計算した後に底辺を除く必要があるので「底辺の計算方法」だけでも教えていただけると有難いです。

よろしくお願いします！

回答No.1

noname#154783 · ベストアンサー

ベクトルを表すために
r↑ = (x,y,z)
みたいな表記を使います．

1.
極座標(r,θ,φ)を用いると
x = r sin θ cos φ,
y = r sin θ sin φ,
z = r cos θ
であり，S上でrは一定値 r = 3 です．

∫[S] f↑・dS↑ = ∫[S] f↑・n↑ dS

なのですが，S上で
f↑・n↑
= f↑・r↑/r
= (-2x^2 + 2y^2 + z^2)/r
= (-2r^2 sin^2 θ cos^2 φ + 2r^2 sin^2 θ sin^2 φ + r^2 cos^2 θ)/r
= (-2sin^2 θ cos 2φ + cos^2 θ)r.

また，
dS = r^2 sin θ dθ dφ.
積分範囲はz ≧ 0なので，θは0からπ/2の値をとりうる．

以上より
∫[S] f↑・dS↑
= ∫[S] f↑・n↑ dS
= r^3 ∫[0,π/2] dθ ∫[0,2π] dφ (-2sin^2 θ cos 2φ + cos^2 θ)
= 2π r^3 /3
= 18π.

2.
Sに底面を合わせたものをEとし，Eを表面とする体積領域をVとすると，
ガウスの発散定理より

∫[E] f↑・dS↑
= ∫[V] div f↑ dV
= ∫[V] 5 dV
= 18π×5
= 90π.

で，求める積分は
∫[S] f↑・dS↑ = ∫[E] f↑・dS↑ - ∫[底面] f↑・dS↑
なのですが，底面での単位法線ベクトルは明らかにz軸に平行であるのに対し，
底面においてz = 0ですから，f↑は底面において f↑ = (2x,2y,0)となり
z軸に対して垂直です．
すなわち，底面においてf↑とn↑とは垂直なのです：
f↑・n↑ = 0.

したがって
∫[底面] f↑・dS↑ = ∫[底面] f↑・n↑ dS = 0
であり，求める積分は
∫[S] f↑・dS↑ = ∫[E] f↑・dS↑ = 90π.

お礼

非常に分かりやすい説明をありがとうございます。
おかげさまで理解できました。
特に、２の底面に対してどういった理論で０になるのかを丁寧に書いていただいたことに非常に感謝しています。
ありがとうございました！