立体の共通部分の体積と表面積について

質問

aを正の定数とする。xyz空間において、円柱y^2+z^2≦a^2と角柱|x|+|z|≦aとの共通部分をKとする。
(1) Kの体積を求めよ。
(2) Kの表面積を求めよ。

(1)は次のように解答したのですが、合っているでしょうか。(2)の方はわかりません。

(1)
y=akで切った断面積Sを求める。
z^2≦a^2(1-k^2)
-a√(1-k^2)≦z≦a√(1-k^2)
Sは六角形になり、
S=(a√2)^2-2・1/2・[a{1-√(1-k^2)}]^2
　=2a^2-a^2{2-k^2-2√(1-k^2)}
　=a^2{k^2+2√(1-k^2)}
V=2∫(0～1)a^2{k^2+2√(1-k^2)}adk
　=…
　=a^3(2/3+π)

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

(1)
>S=(a√2)^2-2・1/2・[a{1-√(1-k^2)}]^2　←　×
間違い
正：S=(a√2)^2-4・1/2・[a{1-√(1-k^2)}]^2

>　=2a^2-a^2{2-k^2-2√(1-k^2)}　←　×
正：=2a^2-2a^2{2-k^2-2√(1-k^2)}

>　=a^2{k^2+2√(1-k^2)}　←　×
正：2a^2{k^2-1+2√(1-k^2)}

>V=2∫(0～1)a^2{k^2+2√(1-k^2)}adk　←　×
正：V=4∫(0～1) a^2{k^2-1+2√(1-k^2)}adk

>　=…
>　=a^3(2/3+π) 　←　×
正：　=(8/3)a^3

(2)
対称性からx≧0,y≧0,z≧0の領域について表面積を求め　8倍すればよい。

D1={(x,y)|a-√(a^2-y^2)≦x≦a, 0≦y≦a}　で 0≦z≦a-x
D2={(x,y)|0≦x≦a-√(a^2-y^2), 0≦y≦a}　で 0≦z≦√(a^2-y^2)
表面積の公式S=∫∫[D] √{1+(dz/dx)^2+(dz/dy)^2}dxdyを用いて

S1=∫∫[D1] √2 dxdy=(√2)π(a^2)/4
S2=∫∫[D2]√(1+(y^2/(a^2-y^2)))dxdy
　=∫∫[D2] a/√(a^2-y^2)))dxdy
　=∫[0→a]　a/√(a^2-y^2) dy∫[0→a-√(a^2-y^2)] dx
　=a∫[0→a]　((a/√(a^2-y^2)) -1) dy
　=(a^2)∫[0→a]　(1/√(a^2-y^2) dy -(a^2)
　=(π/2)a^2 - a^2

Kの表面積S
　=8(S1+S2)
　=2√2π(a^2)+4π(a^2)-8a^2
={2(2+√2)π-8} a^2

お礼

(2)の解答ありがとうございました。おかげて解決しました。

補足

(1)の計算について指摘されたところを直して計算してみたところ
V=4∫[0→1]a^2{k^2-1+2√(1-k^2)}adk
　=4a^3∫[0→1]{[k^3/3-k][0→1]+2∫[0→π/2](cosθ)^2dθ}
　=4a^3{-2/3+∫[0→π/2](1+cos2θ)dθ}
　=4a^3{-2/3+[θ+sin2θ/2][0→π/2]}
　=4a^3(-2/3+π/2)
　=a^3(2π-8/3)
となったのですが、どうでしょうか。

回答No.7

151A48

お詫び
♯５です。
すみません。（２）を計算する際の積分領域D1、D2が間違っていました。
♯２さんの図のようになります。
♯２さん、ご指摘有難うございました。

回答No.6

info22_

#2です。

#5さん、
あなたのA#5の領域D1、D2が間違ってると思いますが、再確認してみてください。
A#2のD1,D2と比較して見てください。
D1,D2が間違っていれば積分結果も正しい結果になりませんよ。

参考までに立体のx≧0,y≧0,z≧0の部分の3次元グラフを添付しますので
A#2での積分領域　D1（黄色領域）,D2（水色領域）を確認して下さい。
A#5のD1,D2の取り方では正しい表面積は出てきません。
立体図を良くみて確認下さい。

回答No.5

151A48

(2)　ですが、表面積の公式を使って

D1：0≦y≦x , 0≦y≦a　で z=a-x
∫[0,a]∫[y,a] √２dx dy=∫[o,a] √2 (a-y)dy=(√2 /2)a^2

D2 ： 0≦ｘ≦y　、　0≦ｙ≦a で　z=√(a^2-z^2)
∫[0,a]∫[0,y]{a/√(a^2 -y^2)}dxdy=∫[0,a] {ay/√(a^2 -y^2)}dy=[-a√(a^2 -y^2)] [0,a] =a^2

S=8×{(√2/2)+1}a^2=(8+4√2)a^2

のようになりませんか？

（D2のは厳密には特異積分ですが、ごまかしてあります。）

回答No.4

yyssaa

(2)は解決しているようなので、(1)について回答します。
x,y,z≧0の範囲で、y=akで切った断面積Sを求める。
断面形状は二等辺直角三角形と矩形を合わせた台形。
二等辺直角三角形の面積=(1/2){a√(1-k^2)}^2
=(a^2)(1-k^2)/2・・・(ア)
矩形の面積={a-a√(1-k^2)}a√(1-k^2)
=(a^2){√(1-k^2)-(1-k^2)}・・・(イ)
S=(ア)+(イ)=(a^2){√(1-k^2)-(1-k^2)+(1-k^2)/2}
=(a^2){√(1-k^2)-(1-k^2)/2}
これを0≦y≦aの範囲で積分するが、dy=adkより、
この部分の体積V=∫[k=0→1]S*adk
=(a^3)∫[k=0→1]{√(1-k^2)-(1-k^2)/2}dk
=(a^3){∫[k=0→1]√(1-k^2)dk-(1/2)∫[k=0→1](1-k^2)dk}
=(a^3){∫[k=0→1]√(1-k^2)dk-(1/2)(1-1/3)
ここで∫[k=0→1]√(1-k^2)dk=π/4(半径1の円の面積の1/4)
よってV=(a^3)(π/4-1/3)
求めるKの体積はVの8倍なので、(a^3)(2π-8/3)となります。

回答No.3

info22_

#2です。

A#2の(1)についての補足質問の回答です。

>>V=2∫(0～1)a^2{k^2+2√(1-k^2)}adk　←　×
>正：V=4∫(0～1) a^2{k^2-1+2√(1-k^2)}adk

>V=4∫[0→1]a^2{k^2-1+2√(1-k^2)}adk
>　=4a^3∫[0→1]{[k^3/3-k][0→1]+2∫[0→π/2](cosθ)^2dθ}
>　=4a^3{-2/3+∫[0→π/2](1+cos2θ)dθ}
>　=4a^3{-2/3+[θ+sin2θ/2][0→π/2]}
>　=4a^3(-2/3+π/2)
>　=a^3(2π-8/3)
>となったのですが、どうでしょうか。

これで合っています。

以下の途中計算で転記ミスをしておりました。
従って
>>　=…
>>　=a^3(2/3+π) 　←　×
>正：　=(8/3)a^3 ←　×
これば間違いでした。

お粗末でした。

回答No.1

nag0720

(1)は断面積Sの式が違います。
正しくは、
S=(a√2)^2-4・1/2・[a{1-√(1-k^2)}]^2

(2)は、円柱を角柱面で切った切り口は楕円になっているからその面積は出せるでしょう。
残りの曲面部分は、円柱面を平面に展開した図を考えれば分かりやすいかもしれません。

お礼

ありがとうございます。

補足

円柱面を平面に展開した図とはどのようなものになるのでしょうか。もしよければ教えてください。