適当な値を特定しなければならない問題

質問

「大学への数学　数学を決める論証力」という参考書のP19から、「x+y+z=1，x2+y2+z2=1(x2はxの2乗),xyz≠0を満たす実数x,y,zの組が存在することを証明せよ」という問題について質問です。
その解答は、
「z=1/2とすると、２つの等式⇔x+y=1/2,x2+y2=3/4
⇔x+y=1/2,xy=(x+y)2-(x2+y2)=-1/4
⇔x+yは方程式t2-1/2t-1/4=0の２解
であり、このｔの２次方程式の判別式は正で、０を解にもたないから、題意は証明された。」
となっていて、確かに、このときのx,y,zの値を計算すると
x=1+√5/4 , y=1-√5/4 , z=1/2であり（x,yの値は逆でもいい）
これらはx+y+z=1,x2+y2+z2=1,xyz≠0を満たします。
ここからが質問なのですが、z=1/3としても、x=1/4としても、y,zは実数の範疇では出てきません。どうしてz=1/2であるとき、y,zが実数であると分かるのですか？どのようにして、問題文中の条件を満たす実数x,y,zの組を特定するのですか？x2+y2+z2=1より分かる-1<x,y,z<1の範疇の値をがむしゃらに代入していくしかないのでしょうか？
あと、このような引用（全転記）、大丈夫ですか？ご指摘があれば一旦投稿を削除して書き直します。

回答No.4

noname#84841 · ベストアンサー

実数x,y,zの組が存在することを証明せよ

ですから、1組でも見つかれば、それで終わりです。
x+y=1-z・・・・ア　　
x^2+y^2=1-z^2

2xy=(x+y)^2-(x^2+y^2)
=1+z^2-2z-1+z^2
=2z^2-2z
xy=z^2-z ・・・・イ
アイより x,yは
t^2-(1-z)t+(z^2-z)=0の２解
D=(1-z)^2-4(z^2-z)
=1+z^2-2z-4z^2+4z
=-3z^2+2z+1
=(3z+1)(-z+1)
より
-1/3≦z≦1で０≦D
これより、-1/3≦z≦1　で0以外のｚを一つ取り挙げて
代入すればそれで一例が出ますので証明が終わります。

空間を使って証明するなら、（べはベクトル）
べOP=(x,y,z) べ0A=(1/3,1/3,1/3) べv＝(1,1,1)
とすると
べAＰ⊥べｖ　として内積が0だから
(x-1/3,y-1/3,z-1/3)・(1,1,1)=0
x+y+z-1=0より
x+y+z=1が得られます。
和訳すればx+y+z=1は
座標(1/3,1/3,1/3)を通り、べｖに垂直な平面ということです。
べOA//べvより、0AがＯＰの最小値なので、このとき
OP^2=x^2+y^2+z^2=1/3
あとはお任せします。

お礼

x,y,zの組の特定方法を詳しく書いていただき、本当にありがとうございます。よりのｚの範囲が絞り込まれていて満足いきました。実際は問題が解ければいいわけですから、-1<x<1の範囲で適当にいくつか代入して、注意深く計算していればよかったわけですね；すごく参考になりました、ありがとうございましたm(_ _)m

回答No.3

nettiw

>> z=(1/3)
x+y=(2/3)
x^2+y^2=(8/9)
xy={(x+y)^2-(x^2+y^2)}/2={(4/9)-(8/9)}/2=(-2/9)
t^2+(2/3)t+(-2/9)=0

>> x=(1/4)
y+z=(3/4)
y^2+z^2=(15/16)
yz={(y+z)^2-(y^2+z^2)}/2={(9/16)-(15/16)}/2=(-3/16)
t^2+(3/4)t+(-3/16)=0

計算間違いと思いますが。

お礼

↓のkokoさんに宿題と言われて、よもやと思いましたが、その通りですね；；灯台下暗しというやつです。いいわけです。ご指摘ありがとうございました。

回答No.2

koko_u_

>x2+y2+z2=1より分かる-1<x,y,z<1の範疇の値をがむしゃらに代入していくしかないのでしょうか？

もちろんそんなことはありませんが、後は宿題ということで。

>このような引用（全転記）、大丈夫ですか？

転載元がわかれば、この程度は問題ないと思います。

お礼

宿題解けました＾＾転載元書いといてよかったです。
解答ありがとうございましたm(_ _)m

回答No.1

arrysthmia

正しいけれど、本のタイトルにそぐわない証明ですねえ。
論理的には、「存在することを証明せよ」と言われたら、
実例を一つ挙げれば、ちゃんと証明したことになります。
どうやって、その実例を見つけたかの説明は、
解説に属することであって、証明の一部ではありません。
だから、その解答の証明はソレで正しいのですが、
そのスタイルを貫くのであれば、もっと短く、
「x=1+√5/4, y=1-√5/4, z=1/2 が題意を満たす。オワリ」
でも十分なのです。あくまで、論理的には。
入学試験等の答案として、そのような証明が
どのように評価されるのかは、知りませんが。

この問題については、
平面 x+y+z=1 上の点から原点までの距離の値域を評価する
過程を書いたほうが、穏当だと思います。

お礼

某校の入試で出題された問題みたいですから、その解答をそのまんま利用されてたりするのでは？自分が文系だからかどうか分かりませんが、アドバイスして頂いたことよく分からないのですが、すでに別の方に詳しく書いて頂いてますので、大丈夫です。解答ありがとうございましたm(_ _)m