5次方式

質問

x,y,zが次の連立方程式をみたしているとき、異化の問いに答える。

ｘ＋ｙ＋ｚ＝0
(x＾3）＋〈ｙ＾3）＋〈ｚ＾3〉=-17
(x＾4)＋(y＾4)＋(z＾4〉＝2
(x＾5)＋(y＾5)＋(z＾5)の値の求め方がわかりません。

x+y+z=0, xy+yz+zx=土1, xyz=-17/3より、
３次方程式の解と係数の関係より、x, y, zはtの３次方程式
　t^3+t+17/3=0　または　t^3-t+17/3=0
までしかわかりません。
おしえてください。
それから、他の問題で、nの乗数も悩んでいるのでもしよければそちらの問題もよろしくお願いします。

回答No.3

eatern27

＞t^5+t^3+17/3t^2=0　はどこから現れたのですか？

　t^3+t+17/3=0　
にt^2をかけると、
t^5+t^3+17/3t^2=0
になりますよね。

(それとも、なんでt^2をかけたのか、という意味なんですか?)

＞5次方程式がよくわからないのでおしえてください。
漠然としすぎていますし、この問題も5次方程式とはあまり関係がない(と思う)ので、説明のしようがないですが、

とりあず、5次方程式には、解の公式がない、ということが証明されているそうですよ。

回答No.2

grothendieck

x, y, zはtの３次方程式
　t^3+t+17/3=0　または　t^3-t+17/3=0
を満たすならば、両辺にt^2をかけて
x, y, z
　t^5+t^3+17/3t^2=0　または　t^5-t^3+17/3t^2=0
第一の式が成り立つ場合は
　x^5+x^3+17/3x^2=0
　y^5+y^3+17/3y^2=0
　z^5+z^3+17/3z^2=0
辺々を加えて
　x^5+y^5+z^5+(x^3+y^3+z^3)+17/3(x^2+y^2+z^2)=0
の用に仕手できるでしょう。ちなみにこれは５次方程式ではないと思います。

補足

t^5+t^3+17/3t^2=0　はどこから現れたのですか？
5次方程式がよくわからないのでおしえてください。

回答No.1

kony0

次数下げはどうでしょう？

1)xy+yz+zx=+1の場合
x,y,z=tの3次方程式t^3+t+17/3=0の解だから
x^3=-x-17/3がいえる。

x^5=x^2(-x-17/3)
=-x^3-(17/3)x^2
=-(-x-17/3)-(17/3)x^2
=(-17/3)x^2+x+(17/3)

y^5, z^5も同様に式変形できる。

したがって、
x^5+y^5+z^5
=(-17/3)(x^2+y^2+z^2) + (x+y+z) + 17

2)xy+yz+zx=-1の場合も同様に変形してみてください。きっと、(-17/3)(x^2+y^2+z^2) + (x+y+z) - 17 となると思います。

※「x+y+z=0, xy+yz+zx=土1, xyz=-17/3」の計算は一切確認しておりません。あくまで「次数下げ」の概念および式変形の手法を汲み取ってください。