関数の問題

質問

全ての実数で連続な関数f(x)が、xが有理数のときにf(x)=x^n(nは自然数)を満たすとき、
全ての実数でf(x)=x^nであることを以下のように証明したのですが、合ってますか？
間違っているか、もっと良い方法があれば教えて頂けると有り難いです。

証明)
xを実数とするとき、任意のε>0に対して、|x-y|<ε⇔x-ε<y<x+ε…(1)
を満たす有理数yが存在する。

x>0のとき、εを十分小さくとればx-ε>0とできて、(1)式の辺々をn乗すると、
(x-ε)^n<y^n=f(y)<(x+ε)^n
∴f(x)-(x+ε)^n<f(x)-f(y)<f(x)-(x-ε)^n
f(x)は連続だから、ε→0のときf(x)-f(y)→0。すなわちf(x)=x^n

x<0のとき、εを十分小さくとればx+ε<0とできて、(1)式の辺々をn乗すると、
(x+ε)^n<y^n=f(y)<(x-ε)^n (nが偶数のとき)
(x-ε)^n<y^n=f(y)<(x+ε)^n (nが奇数のとき)
いずれの場合もf(x)の連続性から、x>0のときと同様にf(x)=x^nとなる。

以上から任意の実数に対してf(x)=x^n。

回答No.1

noname#128765 · ベストアンサー

f(x)-f(y)→0だからといって　f(x)-(x+ε)^n<f(x)-f(y)<f(x)-(x-ε)^nのとき
lim(ε→0)(f(x)-(x+ε)^n)=lim(ε→0)(f(x)-(x-ε)^n)=0
は成り立たない。　今の場合、実際に|f(x)-x^n|が実数xに対しεに依存した値で押さえられるような
不等式を作る必要がある。仮定から「fは実数x(有理数y)で連続」より
任意のε>0に対しy近傍A(δ)={x||x-y|<δ}があって
|f(x)-f(y)|<ε (x∈A(δ))　　　
(もちろんδをδ>0で任意にとっても有理数yが存在する)
ここでf(y)=y^n (yは有理数)と定義し
∀x∈A(δ)に対して三角不等式から
|f(x)-x^n|=|f(x)-f(y)＋f(y)-x^n|≦|f(x)-f(y)|＋|f(y)-x^n|
<ε＋|y^n-x^n|
ここでx^nは実数全体(有理数もこめて)で連続より
δをある値δ1まで小さくとったときにxがA(δ1)に入ればε0(>0)を十分小さく取っても
|y^n-x^n|<ε0が成立。
よって∀x∈A(δ1)において
|f(x)-x^n|<ε＋ε0
ε＋ε0は任意の正の数をとりうるから∀x∈A(δ1)でf(x)=x^n
これは任意の有理数yについてもいえることだから結局は実数全体でf(x)=x^n

(事実A(δ1)にも無数の有理数が含まれているので、各点有理数y2,y3,・・・yn,・・・・
(y1<y2<・・・)における近傍をそれぞれA(δ2)
A(δ3),・・・・・,A(δn),・・・・というようにA(δn-1)とA(δn)との共通集合が空でないように
とって有理数全体に拡張して先ほど行った不等式を繰り返せば実数全体でf(x)=x^nとなることが
分かる)

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

muturajcp

R=(全実数)
Q=(全有理数)
xを実数とするとき
x∈Qならばf(x)=x^nである
x∈R-Q,無理数とするとき
f(x)≠x^nを仮定すると
|f(x)-x^n|>0だから
|f(x)-x^n|>ε>0となるεが存在する
x≠0だから|x|>0となる
fは連続だから
ε>0に対して
0<δ<min(ε/[n(2^n)|x|^{n-1}],|x|)となる
δが存在して
|y-x|<δ,y∈R→|f(y)-f(x)|<ε/2
となる
|y-x|<δとなるy∈Qが存在するから
|y^n-f(x)|<ε/2
となる
|y|<|x|+δ<2|x|
|y^n-x^n|=|y-x||Σ_{k=0～n-1}[y^k]x^{n-1-k}|≦δn(2|x|)^{n-1}<ε/2
|f(x)-x^n|≦|y^n-f(x)|+|y^n-x^n|<ε<|f(x)-x^n|
となって矛盾するから
f(x)=x^n

お礼

ありがとうございました。