（６０度）数、完成一歩手前で

質問

ピタゴラス数から話が始まって、
それでは６０度の場合は？ということで、
一般解を複数の方から教えて頂きました。もう少し数学的に書くと、

三辺が共に整数で,どこかの角が６０度なる三辺(a,b,c)の組をもとめよ。です。
余弦定理より　a^2 = b^2 + c^2 - bc　を満たす整数(a,b,c)の組を求める事になります。
解は　a=k(m^2-mn+n^2)　、b=k(m^2-n^2)　、c=k(2mn-n^2)
a=m^2-mn+n^2　、b=m^2-n^2　、c=2mn-n^2 　で良いと思うので　このあとはこれで書きます。

エクセルで計算して見ると　
m>n>0の条件だと　　（１、１、１）、（２、２、２）等の自明な解が出ません。（３、３、３）は出ました。
m>n>0の条件をはずし、　絶対値をとって見ました。　　　　　　　　
a=| m^2-mn+n^2| 　、b=| m^2-n^2| 　、| c=| 2mn-n^2|
すると、（１、１、１）が出ましたのでＫ倍を適用ば解決、そしてm>n>0では出なかった解まで出ました。
ところが、困った事に無縁解とも呼べる、１２０度に対応する解まで出てきました。なんらかの方法で無縁解を除けばよいのですが、その制約条件が分かりません。

よろしく、お願いします。

尚、解の出し方は’’ピタゴラス数（９０度）から？？？数（６０度）へ”です。
３頁ほど前の９２５です。

回答No.7

age_momo · ベストアンサー

色々、書きましたが私の勘違いのようです。前レスは忘れてください。すみません。

まず、必要十分条件を探しているとのことですが、その場合、(m,n)が互いに素で
互いに素な数字の組み合わせ(x,y,r)を表すことを考えなければ必要十分条件は
でないでしょう。この質問の出発点になっているだろうピタゴラス数にしても、(3,4,5)は
出ても(9,12,15)は出ないはずです。だから上記の組み合わせを求めた後、自然数kを
使って(kx,ky,kr)で全組み合わせとしなければならないと思います。
(何が言いたいかと言うと1,1,1は出る必要があるけど2,2,2は必要ないでしょう。ということ）

今回の方法の問題点は明らかに
x=(1-t^2)/(1+t^2-t)=3/3=1
y=(2t-t^2)/(1+t^2-t)=3/3=1
r=1
であるところを機械的に全体に３をかけて3,3,3にしてしまっていることころです。
つまり、(x,y,r)に公約数がある場合に同様に今回のような漏れが出てくることに
なります。（ピタゴラス数はその欠点が表に出ません。後述)今、公約数をkで表すとしたら
m^2-n^2=(m+n)(m-n)≡0　(mod k)
2mn-n^2=n(2m-n)≡0　(mod k)
m,nが互いに素ならば(m-n)とn,(m+n)とnは互いに素。よって
m+n≡0　かつ(2m-n)≡0　(mod k)
もしくは
m-n≡0　かつ(2m-n)≡0　(mod k)

m+n=kp　n=kp-m　とすると
2m-n=3m-kp≡0　(mod k)　これがmの数に関係なく成り立つにはk=3

m-n=kp n=m-kp　とすると
2m-n=m+kp≡0　(mod k)　kp>m>nの範囲で任意のmに対して常に成り立つkはない。
よってm^2-n^2と2mn-n^2が公約数を持つのはm+n≡0　(mod 3)の時のみである。
また、その時には
r=m^2+n^2-mn=(m+n)^2-3mn=3(3p^2-mn)≡0　(mod 0)
で3つの数字とも3の倍数となる。よって

1)m+n≠3kの時

(x,y,r)=(m^2-n^2,2mn-n^2,m^2+n^2-mn)

2)m+n=3kの時

(x,y,r)=((m^2-n^2)/3,(2mn-n^2)/3,(m^2+n^2-mn)/3)

つまり、mとnの和が3の倍数の時にのみ全体を3で割る必要があるということです。

ピタゴラス数の時に問題にならずにこの場合に漏れが出る原因は

ピタゴラス数の場合、公約数を持つ条件はm,nが共に奇数の時で公約数は2である。
(これは明らか)一方、円も楕円もy=xに関して線対称であるからある(m^2-n^2,2mn)で
表される(x,y)があると必ず(2mn,m^2-n^2)も(楕)円上の点である。その対を考えると
(M^2-N^2)/（M^2+N^2)=2mn/(m^2+n^2)
(M^2-N^2)(m^2+n^2)=(M+N)(M-N)(m^2+n^2)=2mn（M^2+N^2)
今、m,n共に奇数である時、M,Nとも奇数だと左辺は8の倍数、右辺は4の倍数(8の倍数には
ならない)で矛盾。よってm,nが共に奇数で(x,y,r)が公約数を持つ時には
対になっている点が必ず公約数を持たない。(どちらかが互いに素な(x,y,r)が出てくる)
一方、楕円の場合はm,nに対して対になっているのはm,m-n
m+n=3k　の時
m+(m-n)=3m-3k=3(m-k)
よって片方が公約数を持つ時には必ず対も公約数をもち、互いに素な(x,y,r)は得られない。
また、楕円の場合はx=yの時には対になる組もない。これらの場合には同様の
問題がでることになります。

お礼

age_momo様　ＲＥＳ待っていました。

饒舌な私ですが、書く事がもうありません。

多大な時間を使って頂き、ただ感謝のみです。
もうこのスレッド締めねばなりませんが、
もう少しだけご猶予下さい。
今後ともご指導よろしくお願い致します。

回答No.6

y_akkie

kkkk2222様。

y_akkieです。
私なりにも、いくつか検討をさせてもらいましたが、どうやら、正三角形の場合は別のケースとして考えた方がよさそうです。
その理由について、以下で御説明させていただきます。

z^2 = x^2 + y^2 - xy
について、
z^2-x^2 = y^2-xy　　　　
(z-x)(z+x) = y(y-x)　　
(z-x)/(y-z) = y/(z+x)　(1)から、
(z-x)/(y-z)=y/(z+x)　=　k　(kは有理数）とおいて

連立させてx,yの解をz,kを用いて求め、さらに、k=n/m
(m,nは互いに素）とおいて、x:y:zの比を求めると、結局
(m^2-mn+n^2):(m^2-n^2):(2mn-n^2)になる事が確認され
ました。しかし、(1)式の左辺をよく見て下さい。x=y=zの場合は
0/0になる事に気付かれるかと思います。

以上の事から少なくとも、

x = y = zのとき、
x = y = z = l

それ以外の場合は、

x = l(m^2 - mn + n^2)
y = l(m^2 - n^2)
z = l(2mn - n^2)
(ただし、n=2m(x=y=z)の時は除く）

とするべきではないでしょうか。

これが完全解であるかどうかについてはさらなる検討が要るように思えます。とりあえず、今回はこの辺で失礼します。m(__)m

お礼

地獄に仏。待っていました。
＃５様への、お礼欄参照ください。別欄も覗いて頂ければ幸いです。
今、混乱の極みです。
感想文、おくれそうですが、ご容赦お願いします。
とりあえず、御礼申し上げます。

補足

＃６読了しました・・・
いつもなら、質問の嵐なんですが　m(__)m

ANo.7様の回答ご覧になられたでしょうか。
全てを理解できたわけではありませんが、証明に穴があるとは思えません。１/3がｋＥＹだと気が付きましたが、それ以上は・・・。　
見事な論証でした。
すべて完了です。
もうエクセル操作をする必要も感じられません。調査範囲も　ｍ＞ｎ＞０で了解。

書き終わりましたら、スレッド閉めます。
貴殿との会話のための感もありますが、予定タイトルは”神の数学”少し調べる必要がありますが、そこでまたお会いできるよう・・・
もうひとつは”0.33333333＊３＝0.99999999、0.333333333＊３＝１”
長すぎますね。　　

ＰＳ　オークションの回答よみました。質問読んだとき、から爆笑^^;
貴殿の人柄が偲ばれました。　再会の日をたのしみに・・・・

回答No.5

age_momo

#3,4です。再び書き間違いがありました。

マクロ14行目
誤
b = ct1 ^ 2 - ct

正
b = ct1 ^ 2 - ct^2

ただしこれでも重複は避けられないようです。
n=kとn=m-kで重なるようです。

お礼

字数制限のため文体無礼　謝罪
この欄は、お礼の欄なのですが。補足欄がＭＡＩＬで連絡が行くかどうか、分からないので使用します。
○＃３の、お礼の中で”必要条件”を”十分条件””と書きました。これは錯誤ではなく、自分の無知によるものです。
○解読出来ません。部分も全体も（顔↓）。
＞つまり・・・有理数とは限りません。理解できたのは、ここまでです。
＞この楕円の一点(m,n)での傾きは、y'=(2m-n)/(2n-m)
＊楕円の一点(m,n)？　＊傾き→t　？　＊y'→dy/dx？　t　？
＊(2m-n)/(2n-m)→偏微分？忘却。dy/dxで出すのか？陰関数微分？→dy/dxまでで,計算挫折、dy/dxは接線の傾きだし。
今問題になってるのは　t=(y-0)/(x-(-1)),x=(m^2-n^2)/(m^2-mn+n^2)、y=(2mn-n^2)/(m^2-mn+n^2)では　t=n/m　と支離滅々。とうとう’’傾き’’さへ？
分かったとしても？　
＊m=2/√3,n=1/√3→算出方法？(１,１,１)だけは確認。
＊基本解?　7,5,8←70,50,80　これは些事
＊非常手段　わからないＭＡＣＲＯを凝視2/√3なし1/√3なし(2m-n)/(2n-m)なし
＊極論　知りたいのは一般解の式とその導出過程または媒介変数の条件
頭の中ＣＡＯＳ　m（__）m　m（__）m　m（__）m　m（__）m

回答No.4

age_momo

ついでなので全体のマクロを作ってみました。これで3000個ほど出てきます。
なお、先ほどのマクロはやはり少し書きすぎでした。一緒に書いておきます。

Option Explicit

Sub test()
Dim ct As Integer
Dim ct1 As Integer
Dim a As Integer
Dim b As Integer
Dim c As Integer
Dim g As Integer
Dim col As Integer
For ct = 1 To 100
For ct1 = ct + 1 To 100
If gcm(ct1, ct) = 1 Then
a = ct1 ^ 2 + ct ^ 2 - ct * ct1
b = ct1 ^ 2 - ct
c = 2 * ct * ct1 - ct ^ 2
g = gcm(a, b)
g = gcm(c, g)
Cells(col + 1, 1) = a / g
Cells(col + 1, 2) = b / g
Cells(col + 1, 3) = c / g
col = col + 1
End If
Next
Next
End Sub

Private Function gcm(ByVal a As Integer, ByVal b As Integer) As Integer
Dim g As Integer
g = a Mod b
Do While g > 0
a = b
b = g
g = a Mod b
Loop
gcm = b
End Function

お礼

ＰＳ
今　＃２様への補足欄をみましたら、
不思議にも消えていましたので、
再入力しました。
age_momo様の造詣の深さに感服・・・

回答No.3

age_momo

質問者さんがやろうとしていることがよく分からないのですが、
３辺が整数でかつ６０度が最低でも一つある三角形の３辺の組み合わせを
全て(小さい辺り)を出そうとしていると言うことでしょうか？

QNo.2787414を読んでみましたが、そういうことなら残念ながら十分条件では
ありますが、必要十分条件ではありません。
つまり、(x、y)が有理数なら傾きは有理数ですが、傾きが有理数でも(x、y)が
有理数とは限りません。
楕円の方程式
x^2-xy+y^2=1
この楕円の一点(m,n)での傾きは
y'=(2m-n)/(2n-m)
m=2/√3,n=1/√3は楕円上の点で両方無理数ですが傾きを計算すると有理数になります。
というか質問で示されている式にこの値を入れれば(１,１,１)が出てくることになります。

質問者さんがどんなマクロを組んだのかは分かりませんが、基本解を出していくつもりなら
最初に(m,n)を出す時に互いに素であることを前提に入れていったほうがいいですね。
m,n間で公約数gを持てば(つまりm=gm',n=gn')
a=g(m'^2-m'n'+n'^2),b=g^2(m'^2-n'^2),c=g^2(2m'n'-n'^2)
で既に求めた数の整数倍になってしまいますから。

最大公倍数は以下の式で求まると思います。(深くは考えていませんが)
３つの数字で求めるならまず２つで最大公倍数を求めてそれと残りの数の最大公倍数を
求めればいいです。

Private Function gcm(ByVal a As Integer, ByVal b As Integer) As Integer

Dim g As Integer

g = a Mod b
Do While g > 0
a = b
b = g
g = a Mod b
Loop
If g = 0 Then
gcm = b
Else
gcm = g
End If

End Function

お礼

ＲＥＳ　誠にありがとうございます。
ＳＣＡＮしただけで、致命的な事が書かれていると直感して、
読むのが、こわかったのですが。
＃２様へのお礼と補足欄を併読しただければ幸いです。

＃２様へのお礼と補足欄の中でも、敢えて書かなかったのですが
もしや、”十分条件ではないのでは”と言う疑念が多々の試行の
中から生じてきているのを、心の中で打ち消していました。

当然ながら、実務ではなく単なる余暇ですので、知りたいのは必要十分です。
無理なら十分条件だけでも。

せっかく書いて頂いたＭＡＣＲＯですが、当方は全く理解できません。
（＃２様へ）を参照ください。関数がすこしわかる程度です。
いつの日かの為ＦＩＬＥにして大切に保存させて頂きます。
ーーーーーーーーーーーーー
愕然として・・・・

とりあえず、御礼申し上げます。
補足欄でＲＥＳさせて頂きます。今から吟味させて頂きます。

回答No.2

kabaokaba

エクセルで処理するならまずエクセルのヘルプを呼んでください．
GCDとかLCMという関数がありませんか？
私はエクセルは自分では持ってないので
分かりませんが，ぐぐった限りでは存在します．
GCDが最大公約数，LCMは最小公倍数です

m，nが互いに素ではないときには
GCD(m,n)で割って処理すればよいだけですし
互いに素でなくても「条件を満たす」値はでますよね
＃この点は前の書き込みはミスリードでした．

このようなm，nに対して，
a,b,cを計算し，どれか一つでも0以下があれば却下
そして，GCD(a,b,c)（以下gと書く）
（エクセルで三つの数のGCDが一度に求められるのかは分かりません）
を使って
a/g,b/g,c/g
を解とするくらいで，m,nに対して計算できませんか？
（a,b,cが互いに素のときも，g=1なので割ってしまって構いません）

=========
一般解を求めるときに出てきた
x^2+y^2-xy=1が楕円かとか，
少し高校の範囲を超えて（一次変換できれば何とか高校の範囲？）
いますが，式展開そのものは明瞭だと思います．
「なるほど，うまい手があるものだ」と感嘆してました．
誘導つきで大学入試問題にありそうな手ごろな問題だと思います．

お礼

重ねて、御礼申しあげます。

順序が逆になりますが、”考えた事””自分の能力の限界”、
貴殿以外からの引用は>>とでも表記します。
他に新ＲＥＳが３通入っています。ＳＣＡＮしただけですが、”考えた事”に関与する本質的な内容が内包されている気がします。
遅筆で箇条書きになる事をお赦しください。

＊Ｐ［a=m^2-mn+n^2,b=m^2-n^2,c=2mn-n^2］に(1,1,1)となる(m,n)は存在しない。
＊Ｑ［a=k(m^2-mn+n^2)、b=k(m^2-n^2)、c=k(2mn-n^2)］を使用。
＊k=1/3の時(1,1,1),　k=2/3の時(2,2,2)
＊k　は有理数
＊これでは　k　は　ＰＡＲＡＭＥＴＥＲではなく　　k=f(m,n) となってしまう、
＊これを、回避する方法として、
＊新ＰＲＡＭＥＴＥＲの導入（たぶん不可）　とすると、
●命題Ｑの解釈に帰着する。（もしくは、”一般解”と言うＴＥＲＭの解釈）
＊次に絶対値をとった時、１２０度に対応する無縁解は予測出来ていた。
＊ＰＯＩＮＴは、(a,b,c)では算出出来なかった（a,|b|,|c|)の時の、正式解はどう解釈するのか。
＊但し、この正式解は自分の錯誤の可能性があるので、要再調査。

補足欄へ続く→ → → → → →

補足

＊エクセル操作でＭＡＣＲＯの使用は、ある理由で断念している。
＊関数もＬＯＯＫＵＰすら理解できない。
＊ただし、エクセル操作は便宜てきなもので、本質ではないので、時間の浪費は不可避。

>x^2+y^2-xy=1が楕円・・・
おそらく、私の読み違えでしょう。楕円であることは自明ではありますが、
性格上、どんな楕円か知りたかったので、４５ど回転とー４５度でやって見ると
実に美しい形で、なぜ記憶がないのか不思議でした。

>GCDとかLCM・・・Ｇ.Ｃ.Ｍ.がＧ.Ｃ.Ｄ.に変更されたの既知でしたが慣れません。関数記号だけではなく、教科書/参考書もＧ.Ｃ.Ｄ.で表記されてるでしょうね。

>ぐぐった・・・　あのＦＡＭＯＵＳではなくＮＯＴＯＲＩＯＵＳなＳＩＴＥでこの言葉に出会った時、ＣＯＮＴＥＸＴから検索と理解できましたが、google　と気が付くのに・・・苦笑でした。

ーーー
やっと、本論です。便宜上とは言え数々の無礼な表現、重ねてお詫び致します。

＞m，nが互いに・・・
”m，nが互いに素ではない時”　処理しなくても解が重複するだけで全くきになりません。
因みに、上記の方法で　k=1/3の時(1,1,1)を与える(m,n)・・・・・・
と書いて何かきがつきました　ＪＵＳＴ　Ａ　ＭＯＭＥＮＴ
やっぱりダメでした。Ｐで計算した時の(３,３,３)を与える組は(m,n)=(2,1)です。
なにかＮＥＴ会話（ＣＨＡＴじゃないので、ＴＥＲＭは？）の限界を感じています。
まさに隔靴掻痒、貴殿の本意が理解出来ないのです。
重ねて書きますが”一般解を”与える式です。
問題が解ける/解けない事とは離れて、会話が楽しいです。長くお付き合い出来ますことを念じつつ。

回答No.1

kabaokaba

>ところが、困った事に無縁解とも呼べる、１２０度に対応する解まで出てきました。

それは勝手に絶対値を取っているからです．
a^2 = b^2 + c^2 - bc
を満たすa，b，cをとったときに
|a|，|b|，|c|が
a^2 = b^2 + c^2 - bc
を満たすとは限りません
|a|^2 = a^2 = b^2 + c^2 -bc
= |b|^2 + |c|^2 -bc
です．決して，|b| |c| = bc ではありません．
bとcの符号が違うときに，勝手に絶対値をとれば
積の符号が逆転し，120度の条件
a^2 = b^2 + c^2 + bc
が成立するので120度の解がでてきます．

そもそも，QNo.2787414の「一般解」は
a^2=b^2+c^2-bc を満たす「整数解」です．

m,nを「互いに素な整数」とし（m>n>0なんて条件も勝手につけない）
これらの整数解(a,b,c)のうち
更に，a,b,cがすべて正で
a,b,cの最大公約数をgとし
(a/g,b/g,c/g)
を考えればよいだけでしょう．

お礼

早速のＲＥＳありがとう御座います

高等学校数学＋α程度の素養のない私が、
この問題に手を出したのが間違いの・・・は承知しております。
kabaokaba様が数々の回答/解答をされているのも知っていますので
敢えて、教えを乞うしだいです。

当然ながら、最初は条件なしでやりました、ＭＡＣＲＯを知らないので
手当たり次第にという・・・

でかなりやってみたのですが巧くいきません、で最後近くに　m>n>0　としました。
＊で質問ですが、どうするべきだったのでしょうか？
　その返答が、
＞a,b,cがすべて正で、a,b,cの最大公約数をgとし、(a/g,b/g,c/g)
　を考えればよいだけでしょう
なのですが、互除法を始めとして、かなり苦手な分野です。組み立て除法でさえ何度試みても理解できず、ままよと理解出来ぬまま使っています。

＞a,b,cがすべて正で、a,b,cの最大公約数をgとし、(a/g,b/g,c/g)
を説明頂いても理解できない可能性大です。
出来ればエクセルで、何をすれば良い（どうすれば（１，１，１）がでる）のか教えて頂ければ幸いです。
（自分で考えてみろ・・・という返答が・・・）