数学の質問（論理的に答えて下さい）

質問

xの２次方程式x^2-mnx+m+n=0（ただしm,nは自然数）で２つの解がともに整数となるものは何個か。
α<=βとする。α+β=mn,αβ=m+nよってα+β>0,αβ>0であるからα,βも自然数である。
辺辺を引くと
α+β-αβ=mn-(m+n)
変形すると(α-1)(β-1)+(m-1)(n-1)=2
(α-1)(β-1)>=0 (m-1)(n-1)>=0であるから(α-1)(β-1)=0.1.2
としてそれぞれ場合分けして方程式を決定していたんですが、解を２つもつことを前提に解いていますが、解を２つもつみたいない条件組まなくていいんですか？？
また、どこの部分が解を２つもつことの保証になっているんですか？？

回答No.1

FT56F001 · ベストアンサー

http://okwave.jp/qa/q6917996.html
と重複投稿。しかもベストアンサーを選んだ後で????

補足

よくみてください。　違う部分があります。

回答No.7

178-tall

>当然　実数解の個数が２個です。

整係数の二次方程式にて、一つ整数解があれば、他解も整数。
…じゃ駄目ですか？

回答No.6

mister_moonlight

既に、正しい説明がされているが、問題は　質問者自身が　正しく問題文を理解していない事による。
あれこれ言う前に、問題文をよく読まなければならない。これは　全ての基本。

文中に、「xの２次方程式」と書いてあるんだから、重解は2個として、必ず2つの解を持つ。
しかし、それが実数解か虚数解かは分からない。
ところが、問題文に「２つの解がともに整数」と書いてあるから、この方程式は実数解、それも整数解を持つ事が前提。
その前提の上で、整数解が自然数解であるかどうかは、やってみないと分からない。
従って、必要条件として2つの解を求め、それが自然数解であることの確認の作業＝十分条件の確認　が必要。
そして、それを満たすものが求める解。

こんな事は基本。「論理的な解答」以前の問題。

回答No.5

rnakamra

α<=βとする。α+β=mn,αβ=m+nよってα+β>0,αβ>0であるからα,βも自然数である。
辺辺を引くと
α+β-αβ=mn-(m+n)
変形すると(α-1)(β-1)+(m-1)(n-1)=2
(α-1)(β-1)>=0 (m-1)(n-1)>=0であるから(α-1)(β-1)=0.1.2

この段階では解を二つ持つ保証はありません。
解α,βが満たすべき条件(必要条件)を求めているに過ぎません。
α,βの組を確定し、その2解と持つ方程式が実際に存在するのか確認する必要があります。
実際に、(α-1)(β-1)=0.1.2　を満たすα,βの組の中でも題意に沿わないものはたくさんあります。

回答No.4

noname#152422

> (α-1)(β-1)=0.1.2
> としてそれぞれ場合分けして方程式を決定していたんですが

のあと省略されているところにあなたが使う予定です。
その後最後mとnを決定するところまで書いてくれないと。
書かれてないことについて聞かれてもわからない。

ちなみに、質問文の中の推論では部分的にしか使われていない。

> また、どこの部分が解を２つもつことの保証になっているんですか？？

意味不明。解を２つもつというのは仮定だから、循環論法になるのでは？

個数というのが何の個数なのか曖昧なのですが、「２つの解がともに整数となる」が仮定となってmやnについての条件を決定したいのではないのですか？

回答No.3

alice_44

「解を２つ」という言い回しが「重根は２つと数えると、２つ」であることは、
前回質問で解決済みのはず。( http://okwave.jp/qa/q6917996.html )
ここでは、解( α, β )の存在を仮定してといても大丈夫か？ の点について
述べてみたい。　→ 実は、大丈夫ではない。
( x^2-mnx+m+n=0 ⇔ x=α,β ) を ( α+β=mn かつ αβ=m+n ) に
置き換えるところは、必要十分だから問題ないが、
辺々を引いて (α-1)(β-1)+(m-1)(n-1)=2 とした箇所で、十分性が失われる。
その後 (α-1)(β-1)=0,1,2 とする部分も必要十分なのだが、全体としては
必要条件だけになってしまっている。
そのため、(α-1)(β-1)=0,1,2 を満たす α,β を見つけても、それだけでは
x^2-mnx+m+n=0 の解 α,β の存在する保証にはならない。
例によって、いつもの「代入してみたら成立」を確認しておかねばならない。

回答No.2

178-tall

>解を２つもつことを前提に解いていますが、解を２つもつみたいない条件組まなくていいんですか？？
>また、どこの部分が解を２つもつことの保証になっているんですか？？

x^2 の係数が非零 (1) なので、解の個数は 2 つ (同じものかもしれませんけど)。

補足

当然　実数解の個数が２個です。