２次方程式の２つの解が整数となる条件と解の保証について
- ２次方程式x^2-mnx+m+n=0（ただしm,nは自然数）で２つの解がともに整数となる条件を求めます。
- α+β=mn, αβ=m+nを利用して条件を導出します。
- 方程式を変形して(α-1)(β-1)+(m-1)(n-1)=2となります。この式を場合分けして解を求めます。
- ベストアンサー
数学の質問（論理的に答えて下さい）
xの２次方程式x^2-mnx+m+n=0（ただしm,nは自然数）で２つの解がともに整数となるものは何個か。 α<=βとする。α+β=mn,αβ=m+nよってα+β>0,αβ>0であるからα,βも自然数である。 辺辺を引くと α+β-αβ=mn-(m+n) 変形すると(α-1)(β-1)+(m-1)(n-1)=2 (α-1)(β-1)>=0 (m-1)(n-1)>=0であるから(α-1)(β-1)=0.1.2 としてそれぞれ場合分けして方程式を決定していたんですが、解を２つもつことを前提に解いていますが、解を２つもつみたいない条件組まなくていいんですか？？ また、どこの部分が解を２つもつことの保証になっているんですか？？
- luut
- お礼率3% (22/603)
- 数学・算数
- 回答数7
- ありがとう数0
- みんなの回答 （7）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
http://okwave.jp/qa/q6917996.html と重複投稿。しかもベストアンサーを選んだ後で????
その他の回答 (6)
- 178-tall
- ベストアンサー率43% (762/1732)
>当然 実数解の個数が２個です。 整係数の二次方程式にて、一つ整数解があれば、他解も整数。 …じゃ駄目ですか？
- mister_moonlight
- ベストアンサー率41% (502/1210)
既に、正しい説明がされているが、問題は 質問者自身が 正しく問題文を理解していない事による。 あれこれ言う前に、問題文をよく読まなければならない。これは 全ての基本。 文中に、「xの２次方程式」と書いてあるんだから、重解は2個として、必ず2つの解を持つ。 しかし、それが実数解か虚数解かは分からない。 ところが、問題文に「２つの解がともに整数」と書いてあるから、この方程式は実数解、それも整数解を持つ事が前提。 その前提の上で、整数解が自然数解であるかどうかは、やってみないと分からない。 従って、必要条件として2つの解を求め、それが自然数解であることの確認の作業＝十分条件の確認 が必要。 そして、それを満たすものが求める解。 こんな事は基本。「論理的な解答」以前の問題。
- rnakamra
- ベストアンサー率59% (761/1282)
α<=βとする。α+β=mn,αβ=m+nよってα+β>0,αβ>0であるからα,βも自然数である。 辺辺を引くと α+β-αβ=mn-(m+n) 変形すると(α-1)(β-1)+(m-1)(n-1)=2 (α-1)(β-1)>=0 (m-1)(n-1)>=0であるから(α-1)(β-1)=0.1.2 この段階では解を二つ持つ保証はありません。 解α,βが満たすべき条件(必要条件)を求めているに過ぎません。 α,βの組を確定し、その2解と持つ方程式が実際に存在するのか確認する必要があります。 実際に、(α-1)(β-1)=0.1.2 を満たすα,βの組の中でも題意に沿わないものはたくさんあります。
> (α-1)(β-1)=0.1.2 > としてそれぞれ場合分けして方程式を決定していたんですが のあと省略されているところにあなたが使う予定です。 その後最後mとnを決定するところまで書いてくれないと。 書かれてないことについて聞かれてもわからない。 ちなみに、質問文の中の推論では部分的にしか使われていない。 > また、どこの部分が解を２つもつことの保証になっているんですか？？ 意味不明。解を２つもつというのは仮定だから、循環論法になるのでは？ 個数というのが何の個数なのか曖昧なのですが、「２つの解がともに整数となる」が仮定となってmやnについての条件を決定したいのではないのですか？
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
「解を２つ」という言い回しが「重根は２つと数えると、２つ」であることは、 前回質問で解決済みのはず。( http://okwave.jp/qa/q6917996.html ) ここでは、解( α, β )の存在を仮定してといても大丈夫か？ の点について 述べてみたい。 → 実は、大丈夫ではない。 ( x^2-mnx+m+n=0 ⇔ x=α,β ) を ( α+β=mn かつ αβ=m+n ) に 置き換えるところは、必要十分だから問題ないが、 辺々を引いて (α-1)(β-1)+(m-1)(n-1)=2 とした箇所で、十分性が失われる。 その後 (α-1)(β-1)=0,1,2 とする部分も必要十分なのだが、全体としては 必要条件だけになってしまっている。 そのため、(α-1)(β-1)=0,1,2 を満たす α,β を見つけても、それだけでは x^2-mnx+m+n=0 の解 α,β の存在する保証にはならない。 例によって、いつもの「代入してみたら成立」を確認しておかねばならない。
- 178-tall
- ベストアンサー率43% (762/1732)
>解を２つもつことを前提に解いていますが、解を２つもつみたいない条件組まなくていいんですか？？ >また、どこの部分が解を２つもつことの保証になっているんですか？？ x^2 の係数が非零 (1) なので、解の個数は 2 つ (同じものかもしれませんけど)。
補足
当然 実数解の個数が２個です。
関連するQ&A
- 論理的に説明してください（数学）
xの２次方程式x^2-mnx+m+n=0（ただしm,nは自然数）で２つの解がともに整数となるものは何個か。 α<=βとする。α+β=mn,αβ=m+nよってα+β>0,αβ>0であるからα,βも自然数である。 辺辺を引くと α+β-αβ=mn-(m+n) 変形すると(α-1)(β-1)+(m-1)(n-1)=2 (α-1)(β-1)>=0 (m-1)(n-1)>=0であるから(α-1)(β-1)=0.1.2 としてそれぞれ場合分けして方程式を決定していたんですが、こうして得られた方程式は確実に異なる解を２つもつんですか？？ また、どこの部分が異なる解を２つもつことの保証になっているんですか？？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 高校数学Iの応用問題です。
高校数学Iの応用問題です。 解答・解説が配布されず、困っています！ 是非お願いします。 １ ｎが自然数で、｜ｘ－３/２｜＜ｎを満たす整数ｘの個数がちょうど６個であった。 ｎの値を求めよ。 ２ 方程式２（ｘ－２）2＝｜３ｘ－５｜ …(1) （１） ｘ＜５/３のとき、(1)の解を求めよ。 （２） (1)の解は全部でいくつあるか。 それらの解のうち最大のものをαとすると、 ｍ≦α＜ｍ＋１を満たす整数ｍを求めよ。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ２次方程式の解、α^n+β^n
α^n+β^nを、α＋βとαβだけで表せず、困りました。 問題は、 ２次方程式 x^2+x+1=0の２つの解をα,βとする。次の問にこたえよ。だたしnは整数とする。 (1) nが３の倍数のとき、α^n+β^nの値を求めよ。 (2) nが３の倍数のでないとき、α^n+β^nの値を求めよ。 というものです。 α＋β=-1,αβ=1までわかったのですが、 α^n+β^n=(α＋β){α^(n-1)-α^(n-2)*β・・・+β^(n-1)}を使った解き方や、 α^2+α+1=0,β^2+β+1=0を使う解き方を、考えようとしたのですが、うまくいきません。 高次方程式や、複素数と方程式の範囲で、解き方を教えてもらえるとありがたいです。どなたかお返事お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 四の二十 高校数学の数列です
{a[n]}は初項A,公比αの等比数列で{b[n]}は初項B、公比βの等比数列でα>βとする x[n]=a[n]+b[n](n=1,2,...)によって定められる数列{x[n]}の始めの4項の値はx[1]=0,x[2]=1,x[3]=2,x[4]=5である (1)α、βを解とする2次方程式でx^2の係数が1であるものをもとめよ、A,Bも求めよ (2)x[n+2]=2x[n+1]+x[n](n=1,2,3,...)が成り立つことを証明せよ (3)任意のnに対してa[n]に最も近い整数はx[n]に等しいことを証明せよ x[n]=Aα^(n-1)+Bβ^(n-1) =A(α^(n-1)-β^(n-1)) であり、x[2]=1,x[3]=2,x[4]=5であるから、α^2-β^2=2(α-β),α^3-β^3=5(α-β) よってα+β=2,α^2+αβ+β^2=5 よりαβ=(α+β)^2-(α^2+αβ+β^2)=-1 よって求める方程式はx^2-2x-1=0(1) またA=1/(α-β)=1/2√2,B=-A=-1/2√2 (2)α、βは(1)をみたすからn>=1のときx[n+2]=Aα^(n+1)+Bβ^(n+1) =A(2α+1)α^(n-1)+B(2β+1)β^(n-1) =2(Aα^n+Bβ^n)+(Aα^(n-1)+Bβ^(n-1) よってx[n+2]=2x[n+1]+x[n]が成り立つ (3)(2)によりx[n]は整数であるから、|x[n]-a[n]|が0.5より小さいことを示せばよいが |x[n]-a[n]|=|b[n]=|Bβ^(n-1)|(2)であり、|B|<0.5,|β|=|1-√2|<0.5であるから(2)は0.5より小さい とあるのですが、まず(1)でα^2-β^2=2(α-β),α^3-β^3=5(α-β) よってα+β=2,α^2+αβ+β^2=5 よりαβ=(α+β)^2-(α^2+αβ+β^2)=-1の所がどうやって出てきたのか分かりません (2)は分かりました(3)はx[n]は整数であるから、|x[n]-a[n]|が0.5より小さいことを示せばよいの所で x[n]は整数が何故分かるのか？と、|x[n]-a[n]|が0.5より小さいことを示せばよいの所が何故それを示せば良いことになるのか分かりません 後は|β|=|1-√2|<0.5の|β|=|1-√2|の所がどこから出てきたのか分かりません まんまで引用できてませんが、宜しくお願いします、ていうか引用とかでどうやって説明すればよいのか分かりません、不可能です、値を変えるとか文字を変える位なら出きますが、それじゃだめなんですよね？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- この問題わかりません。よろしくおねがいします
3次方程式x^3+mx^2+3nx+m+n-1=0・・・(1)(ｍ、ｎは実数)はx=-1を解に持つ (１)mをnを用いて表せ。 (2)3次方程式(1)の解がすべて実数であるとき、ｎの値の範囲を求めよ (3)、(2)のとき、3次方程式(1)の解をー１、α、βとする α、βがα＾3＋β＾3＝32をみたすとき、ｎの値を求めよ という問題です。 (3) 1.x＾2+nx+2n=0の解がα、βとなるので、α+β=-n、αβ=2nとおける。 2.α＾3＋β＾3をα+β=-n、αβ=2nを用いて表す。 このときα＾3＋β＾3=(α+β)＾3-3αβ(α+β)となる 3.問題文より、(α+β)＾3-3αβ(α+β)=32だから、α+β=-n、αβ=2nを代入 最後に出てきた値を(2)の値を考えて答えを絞る というふうにやってみたのですが、だめでした・・・・ どのように考えればいいのでしょうか？ よろしくお願いします よろしくおねがいします
- 締切済み
- 数学・算数
補足
よくみてください。 違う部分があります。