【数と方程式】

質問

ｘの2次方程式ｘ＾２－mnx+m+n=0（ただし、m,nは自然数）で
２つの解がともに整数となるものは何個あるか？

答え：3個

分かる方がいらしましたら、
解説お願いしますm(__)m

回答No.3

mister_moonlight · ベストアンサー

2解をα、βとすると、解と係数から　α＋β＝mn　‥‥➀、αβ＝m+n　‥‥(2)
(2)-➀　から　αβ-（α＋β）＝m+n-mn。つまり　（α-1）*（β-1）＋（m-1）*（n-1）＝2.
従って、α、β、m、nは全て自然数から
➀　（α-1）*（β-1）＝1、（m-1）*（n-1）＝1.
(2)　（α-1）*（β-1）＝2、（m-1）*（n-1）＝0.
(3)　（α-1）*（β-1）＝0、（m-1）*（n-1）＝2.

の3つの組み合わせしかない。

回答No.2

mins-maxs

これは有名な問題ですので参考書等に解法が載ってると思いますよ。

簡単に考え方。
現役時のノートみて書いてます。
ところどころはしょってますので自分で補完してくださいね。

ｘ＾２－mnx+m+n=0　・・・(1)
この方程式の解をα、β（α≦β）として
解と係数の関係より
α＋β＝ｍｎ　・・・(2)
αβ＝ｍ＋ｎ　・・・(3)
また、ｍ、ｎは自然数より、α、βも自然数である。

（i）α＝１のとき
式(2)、式(3)より
１＋ｍ＋ｎ＝ｍｎ
（ｍ－１）（ｎ－１）＝２
これより（ｍ、ｎ）＝（２，３）、（３，２）

したがって式(1)は
ｘ＾２－６ｘ＋５＝０
これは（ｘ－１）（ｘ－５）＝０と因数分解できるので２つの整数解を持つ。・・・１つめ

（ii）α≧２のとき
α＋β≦２β≦αβであるから
ｍｎ≦ｍ＋ｎ
（ｍ－１）（ｎ－１）≦１
これより（ｍ、ｎ）＝（１、ｎ）、（ｍ、１）、（２，２）

後は分かると思います。
（２，２）が整数解をもつ２つめ
（１、ｎ）を式(1)に代入して解と係数の関係を出し、ｎを消去するように式を立てれば整数解をもつ３つ目がだせます。
（ｍ、１）も同様にして行うと、（１、ｎ）と同じ結果が得られるので

答え、３通り。

回答No.1

asuncion

＞何個あるか？

何の個数のことですか？
(m,n)のペアの個数ですか？