２次方程式の解が整数になる条件とは？
- xの２次方程式x^2-mnx+m+n=0（ただしm,nは自然数）で２つの解がともに整数となるものは何個か。
- ２次方程式の解が整数になるためには、α-1とβ-1、m-1とn-1の積が0, 1, 2のいずれかとなる必要がある。
- この条件を満たす場合、２次方程式は異なる２つの整数解を持つことが保証される。
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論理的に説明してください（数学）
xの２次方程式x^2-mnx+m+n=0（ただしm,nは自然数）で２つの解がともに整数となるものは何個か。 α<=βとする。α+β=mn,αβ=m+nよってα+β>0,αβ>0であるからα,βも自然数である。 辺辺を引くと α+β-αβ=mn-(m+n) 変形すると(α-1)(β-1)+(m-1)(n-1)=2 (α-1)(β-1)>=0 (m-1)(n-1)>=0であるから(α-1)(β-1)=0.1.2 としてそれぞれ場合分けして方程式を決定していたんですが、こうして得られた方程式は確実に異なる解を２つもつんですか？？ また、どこの部分が異なる解を２つもつことの保証になっているんですか？？
- luut
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>こうして得られた方程式は確実に異なる解を２つもつんですか？？ 持つとは限らない。実際に重解のものも得られる。 この問題異なる2解とはいってはいないようなので別に重解でもよさそう。 異なる2解、と書いていた場合は場合分けした後ではじけばよいだけ。
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- mister_moonlight
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＞こうして得られた方程式は確実に異なる解を２つもつんですか？？ ＞また、どこの部分が異なる解を２つもつことの保証になっているんですか？？ 問題文のどこに“異なる2つの解”って書いてある？ 一致、つまり重解でも良いんじゃないの。それが自然数解であれば、良いんじゃないの。
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