- ベストアンサー
四の二十 高校数学の数列です
{a[n]}は初項A,公比αの等比数列で{b[n]}は初項B、公比βの等比数列でα>βとする x[n]=a[n]+b[n](n=1,2,...)によって定められる数列{x[n]}の始めの4項の値はx[1]=0,x[2]=1,x[3]=2,x[4]=5である (1)α、βを解とする2次方程式でx^2の係数が1であるものをもとめよ、A,Bも求めよ (2)x[n+2]=2x[n+1]+x[n](n=1,2,3,...)が成り立つことを証明せよ (3)任意のnに対してa[n]に最も近い整数はx[n]に等しいことを証明せよ x[n]=Aα^(n-1)+Bβ^(n-1) =A(α^(n-1)-β^(n-1)) であり、x[2]=1,x[3]=2,x[4]=5であるから、α^2-β^2=2(α-β),α^3-β^3=5(α-β) よってα+β=2,α^2+αβ+β^2=5 よりαβ=(α+β)^2-(α^2+αβ+β^2)=-1 よって求める方程式はx^2-2x-1=0(1) またA=1/(α-β)=1/2√2,B=-A=-1/2√2 (2)α、βは(1)をみたすからn>=1のときx[n+2]=Aα^(n+1)+Bβ^(n+1) =A(2α+1)α^(n-1)+B(2β+1)β^(n-1) =2(Aα^n+Bβ^n)+(Aα^(n-1)+Bβ^(n-1) よってx[n+2]=2x[n+1]+x[n]が成り立つ (3)(2)によりx[n]は整数であるから、|x[n]-a[n]|が0.5より小さいことを示せばよいが |x[n]-a[n]|=|b[n]=|Bβ^(n-1)|(2)であり、|B|<0.5,|β|=|1-√2|<0.5であるから(2)は0.5より小さい とあるのですが、まず(1)でα^2-β^2=2(α-β),α^3-β^3=5(α-β) よってα+β=2,α^2+αβ+β^2=5 よりαβ=(α+β)^2-(α^2+αβ+β^2)=-1の所がどうやって出てきたのか分かりません (2)は分かりました(3)はx[n]は整数であるから、|x[n]-a[n]|が0.5より小さいことを示せばよいの所で x[n]は整数が何故分かるのか?と、|x[n]-a[n]|が0.5より小さいことを示せばよいの所が何故それを示せば良いことになるのか分かりません 後は|β|=|1-√2|<0.5の|β|=|1-√2|の所がどこから出てきたのか分かりません まんまで引用できてませんが、宜しくお願いします、ていうか引用とかでどうやって説明すればよいのか分かりません、不可能です、値を変えるとか文字を変える位なら出きますが、それじゃだめなんですよね?
- arutemawepon
- お礼率97% (1166/1191)
- 数学・算数
- 回答数4
- ありがとう数18
- みんなの回答 (4)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
まず(1)でα^2-β^2=2(α-β),α^3-β^3=5(α-β) よってα+β=2,α^2+αβ+β^2=5 よりαβ=(α+β)^2-(α^2+αβ+β^2)=-1の所がどうやって出てきたのか分かりません > x[1]=A+B=0→B=-A x[2]=Aα+Bβ=1→Aα-Aβ=1→(α-β)=1/A x[3]=Aα^2+Bβ^2=2→Aα^2-Aβ^2=2→(α^2-β^2)=2/A (α^2-β^2)=(α-β)(α+β)=(1/A)(α+β)=2/A→(α+β)=2 x[4]=Aα^3+Bβ^3=5→Aα^3-Aβ^3=5→(α^3-β^3)=5/A、 (α^3-β^3)=(α-β)(α^2+αβ+β^2)=(1/A)(α^2+αβ+β^2)=5/A →α^2+αβ+β^2=5 αβ=(α+β)^2-(α^2+αβ+β^2)=-1 (2)は分かりました(3)はx[n]は整数であるから、|x[n]-a[n]|が0.5より小さいことを示せばよいの所で x[n]は整数が何故分かるのか?と、|x[n]-a[n]|が0.5より小さいことを示せばよいの所が何故それを示せば良いことになるのか分かりません 後は|β|=|1-√2|<0.5の|β|=|1-√2|の所がどこから出てきたのか分かりません まんまで引用できてませんが、宜しくお願いします、ていうか引用とかでどうやって説明すればよいのか分かりません、不可能です、値を変えるとか文字を変える位なら出きますが、それじゃだめなんですよね? >x[1]=0,x[2]=1,x[3]=2,x[4]=5だからx[n+2]=2x[n+1]+x[n]が成り立てば 例えば x[5]=2x[4]+x[3]=2*5+2=12 x[6]=2x[5]+x[4]=2*12+5=29 x[7]=2x[6]+x[5]=2*29+12=70 ・・・・・・・・・・・・・・・だから x[n]は整数である。 |x[n]-a[n]|が0.5より小さいことを示せばよい? >整数の間隔は全て1だからに尽きるが、敢えて説明するなら、 |x[n]-a[n]|<0.5すなわち-0.5<x[n]-a[n]<0.5であれば、 x[n]の隣の整数(x[n]±1)とa[n]との差は、 0.5<(x[n]+1)-a[n]<1.5 -1.5<(x[n]-1)-a[n]<-0.5となり、いずれもx[n]よりa[n]から 離れた整数になる。 >α+β=2、α-β=1/A=4/√2=2√2を連立で解けば α=1+√2、β=1-√2
その他の回答 (3)
- yyssaa
- ベストアンサー率50% (747/1465)
0.5を持ち出すのは何故なのですか? >添付図参照
お礼
御返答有難うございます
補足
有難うございます、これで分かりました、他にも質問しているものがありますので、気が向いたら是非宜しくお願いします
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
(1) が分からない状態で, どうやって (2) が分かったんだろう. 謎だ. で「x[n]は整数」は (2) からわかるし「|β|=|1-√2|」は β=1-√2 から出てくるね. 「|x[n]-a[n]|が0.5より小さいことを示せばよい」は「ある整数とその隣の整数とは必ず 1 だけ異なる」ことが理解できるかどうかの勝負.
お礼
御返答有難うございます
補足
>(1) が分からない状態で, どうやって (2) が分かったんだろう. 謎だ. (1)の結果を使って理解することできたという意味です >「x[n]は整数」は (2) からわかるし 何故(2)から整数だと分かるんですか? >「|β|=|1-√2|」は β=1-√2 から出てくるね β=1-√2 なんてどこに書いてあるんですか? > 「|x[n]-a[n]|が0.5より小さいことを示せばよい」は「ある整数とその隣の整数とは必>ず 1 だけ異なる」ことが理解できる ある整数とその隣の整数とは必ず 1 だけ異なることは分かりますが、何故0.5より小さいことなのですか?1より小さいだけなので、0.7とか0.8とかも有りなんじゃないんですか?
- asuncion
- ベストアンサー率33% (2126/6288)
>よってα+β=2,α^2+αβ+β^2=5 より >αβ=(α+β)^2-(α^2+αβ+β^2)=-1の所がどうやって出てきたのか分かりません α+β=2 (α+β)^2 = α^2 + 2αβ+β^2 = 4 ... (1) 一方、α^2+αβ+β^2 = 5 ... (2) (1)-(2)より、αβ = -1
お礼
御返答有難うございます
補足
他の部分も宜しくお願いします
関連するQ&A
- 高校 数学の問題です【等差数列と等比数列】
第5項が10、初項から第5項までの和が90である等差数列{αn}がある。 1. 初項と公差を求めよ 2. 初項から第n項までの和Snの最大値を求めよ 第2項が6、第5項が48である等比数列{αn}がある。ただし、公比は実数とする。 1. 初項と公比を求めよ 2. 初項から第n項までの和を求めよ
- 締切済み
- 数学・算数
- 等比数列の個数の数え方は?
簡単な例をだします。等比数列 2、2^3、2^5、…、2^(2n-1) の項数はどうやって求めますか?私は、初項の指数が1=2*1-1、末項の指数が2*n-1なので、 n個あると考えるんですが不器用でしょうか? 初項1/2、公比4の等比数列と考えるのは不器用だと分かりますが…。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- (等差数列×等比数列)の和の求め方
数列{a_n}は初項1、公差2の等差数列、数列{b_n}は初項1、公比3の等比数列とする。このとき、Σ[k=1→n]{a_k}{b_k}を求めよ。という問題です。 解説では、{a_n}=2n-1、{b_n}=3^(n-1)で、S=Σ[k=1→n]{a_k}{b_k}とおき、Sと3Sを計算すると -2S= 1 + 2*3 + 2*3^2 +..........+ 2*3^(n-1) - (2n-1)*3^n =1 + { 2 * 3[3^(n-1)] / (3-1) } - (2n-1) * 3^n とありますが、1 + { 2 * 3[3^(n-1)] / (3-1) } - (2n-1) * 3^nは一体何を公式に当てはめて出したのでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数列の問題なんですが・・・
常用対数と数列がからんでいるもんだいで 初項が2 公比が3の等比数列の第何項までの和をとると一万より大きくなるかという問題なんです。 僕は等比数列の和ということで 2(1-3^n)/1-3 = 3^n-1 とおいて 3^n-1 > 10000 ということで移項して 3^n > 10001 として 常用対数 log 3^n > log 10001 とやってみたのですが 問題には log3の値しかしるされておらずそれしかつかってはいけないみたいなんです。 この -1さえなければ綺麗にでるのですが この場合 -1を考えないでもいいのでしょうか? 3^n > 3^n-1 > 10000 とかおいてみてもダメなような気がしてなりません。わからないです・・・
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数列の問題で質問です
初項が2、公比が正である等比数列anの第3項は18である。また、等差数列bnの第3項は-19で、初項から第8項までの和は-116である。 (1)数列anの公比を求め、anをnを用いて表せ。 (2)bnをnを用いて表せ。また、bn<0を満たす最大の自然数nの値を求めよ。 (3)不等式Σ(k=1からn) ak > Σ(k=1から20) |bk| を満たす最小の自然数nの値を求めよ。 いつもお世話になっております。(1)は自力で解いて公比=3、an=2×3^n-1となりましたが、ここから先が分かりません。その上に(1)にも自信がありません。解き方を教えてください。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
御返答有難うございます
補足
御返答有難うございます、他の部分は素晴らしく分かりやすかったのですが、以下の部分だけ分かりませんでした >x[n]-a[n]|<0.5すなわち-0.5<x[n]-a[n]<0.5であれば、 >x[n]の隣の整数(x[n]±1)とa[n]との差は、 >0.5<(x[n]+1)-a[n]<1.5 >-1.5<(x[n]-1)-a[n]<-0.5となり、いずれもx[n]よりa[n]から >離れた整数になる。 0.5を持ち出すのは何故なのですか?整数の間隔が1なので間隔が1より小さ苦なる必要があるのは分かるんですが、0.5というのが分かりません0.5<(x[n]+1)-a[n]<1.5 -1.5<(x[n]-1)-a[n]<-0.5となり、いずれもx[n]よりa[n]から 離れた整数になる。の所も何故そのように言えるのか分かりません