ピタゴラス数（９０度）から？？？数（６０度）へ

質問

今ほど○○様に、ピタゴラス数の証明を教えていただきました
さて
三辺が整数でひとつの角が６０度になる三角形が、教科書などに
頻繁に現れます。一般解はあるのでしょうか
当方はほとんど素養がありませんので、’’さわり’’だけでも
教えて下されば幸いです。

回答No.6

y_akkie · ベストアンサー

kkkk2222様

御久しぶりです！！
y_akkie(ハンドルネームのakkieはあきえではなく、アッキーです…。アッキーは学生時代によく友達から呼ばれていたニックネームです。ちなみに私は男性です…。）です。

#5での回答はご理解いただけましたでしょうか？
よく見れば、#3さんと同じ式の形になっている事に気付きました。
やはりこれが、一般解に近いものなのでしょうか？　益々、興味深いものですね。しかも、こちらでも数回に渡ってプログラムで計算したみたところ、正三角形となるような解の存在も確認されましたし…。

さて、お礼の箇所でご質問を頂いた件に関してですが、

>前回、書き忘れたのは＊１２０度の場合は同様の議論が＊３０度の場合（見>た事が有るような/無いような）（√３が入るから解が無いような推測）の>議論です

まず、３０°の場合はおっしゃる通り、無理数が含まれるから、a,b,cがともに整数となる解は存在しない事が言えます。これは背理法を用いればすぐに証明できます。

a^2 = b^2 + c^2 - √3bcにおいて
a,b,cがともに整数となる解が存在すると仮定
すると、(a^2-b^2-c^2)/bc = √3となり、
左辺が有理数となるので矛盾します。
まあ、証明はこんな感じですかね…。

次に120°の場合についてなのですが、
すなわち、a^2 = b^2 + c^2 + bcの場合ですが、
三角形の各辺の長さとして考えるよりも、整数解で考えた方が得策
だと思います。よって、b = -bとおくと、
a^2 = b^2 + c^2 - bcという式が得られ、同様の議論に
なります。ただし、当然ながら、三角形の各辺の長さとして
考える場合の実行可能解はa > 0 b < 0 c > 0となりますね…。

何か素っ気無いような返事／回答で恐縮ですが、
今回はこの辺で失礼します…。
また何か不明な点が御座いましたら、遠慮なく聞いて下さいね…。
とはいっても、自分の浅い知識では答えられる範囲には限りがありますが…；

お礼

ありがとうございます（語彙も枯渇しました）　
このＲＥＳは＃５と＃６を兼ねてです。
＃７　yoikagari様へのＲＥＳと共に読んでくだされば幸いです。

私が思考していることが全て、見抜かれています。畏れ入ります。

＊最終的に考えていたのは、これは完全解ではないか？です。
と　yoikagari様が今朝x=k(m^2-n^2),y=k(2mn-m^2),z=k(m^2-mn+n^2)と考えて間違いがないようです　とＲＥＳ。ご指摘頂かねば見過ごしたでろう　koko_u_様の　x = u^2 - v^2、　y = 2uv - v^2、z = u^2 + uv + v^2　とほぼ同形。あの大定理さえ解かれているのですから、この問題に完全解があっても不思議ではありませんが、全部手に入ってしまうと一抹の寂寥感もあります。なんと業の深いことか。

＊いまさら手遅れですが、ＲＥＳの遅れたおわびを兼ねて、すこし書かせて下さい。＃６と重複しますが。
　まず、１２０度の時の解の組は６０度の場合の半分ではないか？
ここでゆう半分の意味は（両方とも可算濃度アレフ０ですが）（こんな事書かなくとも貴殿は読みとばしてくれるでしょうに）日常使う半分です。
＊すれっどを締めて３０度の場合のスレッドを・・・
＊正三角形・・・私は使えませんが貴殿はＭＡＣＲＯのはずなのに・・・
＊ピタゴラス数でさえ２変数、３変数（実質２変数）と思っていたら、ｌ　は±１の意味を含むので（厳密には違いますが）エクセルのマイナスは解消できるのでＡＢＳを使って０．５の時は６０度、－０．５の時は１２０度・・・

あとは雑談です
＊整数論が数学の女王と呼ばれる由縁（釈迦に説法ですね）
の良いほうの意味を、かいま楽しませて頂きました。
またまた筆が止まりません。まだ欄がふたつ残っていますので
何か書くかと思います（締める前に）。　　　　　　誠惶誠恐頓首頓首

補足

13,15,8
13,15,7
の組にであった時は俄かに信じられず、手計算でやり直しました。

yoikagari様への補足欄、参照下されば有難いです。
スレッド締めて、新スレッド立てますので、今後もよろしくお願いします。

回答No.7

yoikagari

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2787226.html
と同じような手法がここでも成り立つのです。
曲線(ここでは証明しませんが実は楕円)
x^2-xy+y^2=1・・・(1)
と(-1,0)を通る直線
y=t(x+1)・・・(2)
連立させると
x=(1-t^2)/(t^2-t+1),y=(2t-t^2)/(t^2-t+1)

(-1,0)と、曲線x^2-xy+y^2=1上のx,y座標の両方が有理数であるような 点(x,y)を結ぶ曲線の傾きは、必ず有理数になります。

t=n/m(n,mは互いに素な整数)とおいて整理すると
x=(m^2-n^2)/(m^2-mn+n^2),y=(2mn-n^2)/(m^2-mn+n^2)・・・(3)
(3)を(1)に代入して整理すると
(m^2-n^2)^2-(m^2-n^2)(2mn-n^2)+(2mn-n^2)^2=(m^2-mn+n^2)^2
となります。

x^2-xy+y^2=z^2の一般解は、
x=k(m^2-n^2),y=k(2mn-m^2),z=k(m^2-mn+n^2)と考えて間違いがないようです

お礼

y_akkie様　koko_u_様　yoikagari様

それぞれの論法に敢えて我流に名前をつけますと、
変換論法、整数論的論法、有理数点論法
変換論法は感動を与えてくれました。
整数論的論法は主流になる流れ
有理数論法は一番すっきりした論法
＃５を思考しているうちに、これは完全解ではないか
と思いはじめました。
また、有理数点論法論法が適用できるのではないか
と昨晩やっと気が付きました。気が付いても、自分ではとけないだろうとも思いました。
　と起きてみるとyoikagari様からのＲＥＳ、
これは、理解できそうが第一印象です。

前後しましたが、ＲＥＳ有難うございます。
もう、締めきりどきですが、読んだ感想文をＲＥＳする必要もあるし
嬉しい悲鳴です。なるべく速く解読してＲＥＳします。

補足

有り難うございました。解読できました。
最後の式の形がピタゴラス数に酷似してるのが美しいです。
念のため、y_akkie様の時にやったエクセル計算も再度やりました。

完全解のはずなのに（１、１，１）や（２、２、２）がでてきません。
何か有理数を仮定した時に、場合わけの必要なのでしょうか。
これで、もう満足なはずなのに、些事に捕らわれています
計算上も（１、１，１）になるｍ、ｎの組はないような気がします。

m^2-mn+n^2＝１
m^2-n^2＝１
2mn-ｎ^2＝１　はないような
あと、Ｋはどうしても必要なものなのでしょうか。

誠に恐縮ながら、y_akkie様に２０出す関係で・・・
無理やり、制約条件とでも題して新スレッドをたてますので
わかった事がありましたら、ご教授よろしくお願いします。

回答No.5

y_akkie

#4です。補足の箇所で多大なる感謝を頂きまして本当に嬉しい限りです。
実は私自身もフェルマーの定理などを勉強していくうちに、このような事に興味を持つようになりました。確かにおっしゃる通り、不備があると思います。実は、もっと簡単な方法で(a,b,c)の整数集合がより多くカバーできる方法を発見いたしましたので、回答させていただきます。なお、プログラムで検証した結果、制約条件を定めない限り、マイナスの値が出たりして不備が発生しますので、その点はご了承ください。

さて、本題なのですが、

p^2 + 3q^2 = 4a^2から、
ピタゴラス数の一般解を利用して、解集合を求める事を試みます。
まず、q' = 3q 、a' = 2aとおくと、
p^2 + (q')^2 = (a')^2の関係式を得ます。

ここで、ピタゴラスの一般解から、p = m^2 - n^2 q' = 2mn
a' = m^2 + n^2とおきます。(p = 2mn , q'=m^2-n^2 , a' = m^2 + n^2とも置けますが、こちらの方はとりあえずさて置いて置きます。機会があればご自身でやってみてください）

q' = √3q = 2mnから、 q = 2mn/√3になる事から、m=√3m'もしくは、n=√3n'にならなければなりません。
ここでは、後者の方はさておき、前者の方を採用します。
すると、q = 2m'n p =3m'^2-n^2 a = (3m'^2+n^2)/2となります。
ここで、m'は少々見栄えが悪いので、以降はmに置き換えて説明します。

以上により、

a = (3m^2 + n^2)/2
b = (3m^2-n^2+2mn)/2
c = (3m^2-n^2-2mn)/2

が得られます。ここで注意をしたいのは、m,nともに奇数もしくは偶数ならば
a,b,cはそれぞれ整数値となります。ここで、m-n = 2k(二数が偶数ｎなるので)と置いて上式に代入すると、

a = 2m^2 - 2m^2 + 2k^2
b = 2m^2 -2k^2
c = 4mk - 2k^2

が得られます。式を見れば分かるとおり、右辺をそれぞれ２で割っても買い集合に含まれます。ようするに、a:b:cの比が同じであるという事です。
このことから、一般に、

a = l(m^2-mk + k^2) (lは任意の正の整数）
b = l(m^2 - k^2)
c = l(2mk - k^2)

と表せます。（もちろん一般解ではなく、部分解です）

少し走り書きをしたもので、途中に誤字脱字が多い乱文となりまして、大変恐縮です…m（__）m
また、式の途中過程で計算ミスなどがあるかもしれませんが、最終的な導出結果の式は、すでに検証済みですので、多分大丈夫かと思います。
今回は、l,m,kの３変数となり、少し複雑な式になりましたが、以前よりも少しばかり自由度が高くなったような感じでしょうか。
でも、この調子では、一般解の導出には程遠いですよね^^;
なお、この式で正三角形には出会えそうにないと直感的に思う次第です。
それだけ解集合のパターンが多いという事になるんでしょうか。

お礼

y_akkie様。締め切らなくて良かったです。こんなに速く、ＲＥＳがくるとは思いませんでした。貴殿(（あきえ)とも読めるので貴方/貴女が使いずらい（微笑）です）は食塩水の濃度のような問題にも、丁寧に回答/解答（この使い分け間違い多いですね（苦笑））されてるので、益々感服しております。
　昨日の今日で、読むのが惜しい（楽しみのため前回の解答を味わっていたい）ような気もします。実際には、すぐ読み始めるのですが。この欄も使うのが惜しいくらいです。解読したら（出来たら）ＲＥＳします。
　前回、書き忘れたのは＊１２０度の場合は同様の議論が＊３０度の場合（見た事が有るような/無いような）（√３が入るから解が無いような推測）の議論です。決して質問しているわけでありませんがy_akkie様がもしかしてという下心が見え見えで（恥ずかしいです）。あと、最初投稿した時　a^2 = b^2 + c^2 - bc　の議論になる事さえ忘れてました（顔が下向き・・・）。受験時代に数学を５時間かかって一問解く/解けないという生活で翌朝の嫌悪感/虎馬が・・・。当然フェルマー（を頂点とする）型の議論になることは、かっては良く理解していたのですが、四色問題が解決した時・・・どこまで書いても切りがありません、筆を置きます。貴殿との会話が続く事を念じつつ。
　とりあえず御礼申し上げます。

ＰＳ　前回のＲＥＳで”追試”という言葉を使いましたが誤用なので、（数学ではあまり使われませんが）他の人が実験した事を再検証する用語を忘れました。機会がありましたら教えてください。それと今回”会話”という言葉を使いましたがＮＥＴ上では通常何と言えばよいのでしょうか（ＣＨＡＴではないので）。あと長い間、顔文字が嫌いで使用した事がなかったのですが先程ＳＣＡＮした時y_akkie様が使用されていますので好きになれそうです・・・ええとm（__）m。でまた別の事。ＦＩＲＳＴname/ＬＡＳＴnameの関係上’あきえ’ではないですね、失礼しました。

回答No.4

y_akkie

一般解とまではいきませんが、その一部となる整数解の組み合わせの一般式を考えて見ましたので、宜しければ参考にして下さい。

まず、b≧cとし、b + c = p, b - c = qとおくと、b = (p + q) / 2
、c = (p-q) / 2と表せるので、これらを与式の右辺にこれらを代入して計算すると、p^2 + 3q^2 = 4a^2の関係式を得る事になります。

ここから、3q^2 = 4a^2-p^2 = (2a-p)(2a+p)より、
3q^2 = (2a-p)(2a+p)となります。

ここで、右辺の因数を当てはめて次々に解を求めていかなければなりません。また、qの素因数によって様々なケースに分かれてきます。
ここでは、その一つのケースだけに留めておきます。
そして、

(2a-p) = 3
(2a+p) = q^2

を満たすとき、

a = (3+q^2)/4
p = (q^2-3)/2

となります。
ここで、aが整数になるためには、q = 4k+1である必要があるので、

a = 4k^2+2k+1
p = 8k^2 +4k -1
q = 4k+1

となり、さらに

b = 4k^2 + 4k
c = 4k^2 - 1

となります。

以上を纏めますと、

a = 4k^2+2k+1
b = 4k^2+4k
c = 4k^2-1

が与式を満たす(a,b,c)の整数解の一部になります。

なお、k = 1のとき、
a = 7 , b = 8 , c = 3を得る事になります。

これをExcelでやると、３辺の長さが整数値であり、かつ１つの角度が６０度
である三角形が次々に求まっていきます。

お礼

まだ読んでないんですが　お礼遅れてますので
とりあえず　謝謝
今から熟読しますが
なんか　私にも読めそうな・・・
読んだら　なんとか欄でＲＥＳします

補足

えー　何から書いてよいのか迷います。
凄く満足しています。凄く嬉しいです。見た覚えのある数が出てきました。
大切にＦＩＬＥを保管します。
私にでも理解（技法は経験からでしょうから感心するしかありませんが）出来た事も。

堪能した（という思い）と、もう少し知りたい（という思い）と半々です。
＜もう少し知りたい＞けど理解できるかな（という思い）があります。
＜もう少し知りたい＞理由のひとつは正三角形が出てこない　と　出会った組が
もう少しあったような・・・もちろん部分解ですから・・・
この欄は一度書いたらもうＲＥＳできないので、y_akkie様が新情報を得られたら
このスレッドでなくともお願いします。・・・（誠に強欲）（違反かな？）

エクセルで追試しましたら（２４、２１、１５）があって旧友にであった様な思いです。
（御免なさい）ｑ＝４ｋ－１の時も成り立つ様だったので、やってみましたら
　　　　　　　　（８、１３，１５）にも出会えました。（３，３，０）は要検証です。
計　３組だった様にも　思えます。　　　感謝の言葉がみつかりません。
ありがとうＰＯＩＮＴ出したいのですが、もうすこし・・・ゴメン
書き忘れた事がありそうですが、いったん終わります。

回答No.3

koko_u_

ゴメン、間違えた。

誤)z^2 = (x + ω*y)*(x - ω*y)
正)z^2 = (x + ω*y)*(x + ω'*y) ω' は ω の複素共役

おおむね
x = u^2 - v^2
y = 2uv - v^2
z = u^2 + uv + v^2
だけど、細かい条件まで考えてない。

お礼

お礼　遅れてすみません　ＭＥＲＣＩ僕

補足

貴殿の回答が一番本格派なのですが、他のおふたりの関係上
Ｐ　お許しください。

回答No.2

sire

> ？？？数（６０度）
ハテナには何を入れたらいいんでしょうね。。。

三角形の辺の長さと角度については余弦定理という公式があります。
今の場合1つの角度が60°ですので、

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc×cos60°

となります。
ちなみにcos60°=1/2、cos90°=0で
1つの角度が90°のときは、上の式の最後の項が消えて

a^2 = b^2 + c^2

ピタゴラスの定理になりますね。

cos60°=1/2ですので、

？？？の定理は

a^2 = b^2 + c^2 - bc

になります。

確認のため、ひとつの角度が60°になる三角形として正三角形がありますよね。
この場合、a=b=cです。
上の？？？の定理に当てはめると

a^2 = a^2 + a^2 - a^2

となって、成立していることが分かると思います。

、、という感じでよろしいでしょうか？

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%99%E5%BC%A6%E5%AE%9A%E7%90%86

お礼

RES有難うございます
そういうことです
そして　その　一般解？　　です

回答No.1

koko_u_

角度が π/3 の三角形の三辺の長さを x, y, z ∈ Z とすると(Z は整数環)
余弦定理により z^2 = x^2 + y^2 - x*y

ω = (-1+√(-3))/2 と置くと、z^2 = (x + ω*y)*(x - ω*y)
これは整数環 Z[ω] での分解となっていることに注目して、しかも Z[ω] は素元分解環であることが知られているので x, y が互いに素とすれば x + ω*y = ±(u + ωv)^2

のような展開かな？

お礼

欄が逆になってしまいました
整数論の本が天井裏で埃をかぶっています
なんかこんな感じの論法になるような
嫌な（失礼）予感はしてました
少し数式を眺めていましたが
所詮　私には理解不能か　という気がしてきました
ＰＳ
私が覚えているのは　３　８　７　だけですが
５、６組　見たような気がします　　ＤＡＮＫＥ

補足

ＲＥｓ　感謝です
さっそく　考えてみます