にゃんこ先生の自作問題、不定方程式で解を生成、ペル方程式ピタゴラス数東大入試

質問

にゃんこ先生といいます。次のようにゃ問題が知られています。

ペル方程式
x^2-ny^2=1 (ただし、nは平方数ではない)
の整数解は、一つの解を見つければ、そっからすべての解が生成される。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%83%AB%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F

ピタゴラス数
a^2+b^2=c^2
の自然数解（ただし、gcd(a,b,c)=1）は、(a,b,c)=(3,4,5)からすべての解が生成される。
http://mathworld.wolfram.com/PythagoreanTriple.html

2006東大入試問題
x^2+y^2+z^2=xyz(ただし、x≦y≦z)
の自然数解。
http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho/sokuho06/tokyo/zenki/sugaku_ri/mon4.html
と
http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho/sokuho06/tokyo/zenki/sugaku_ri/kai4.html

入試には解は無数あることを証明させていますが、実際にはすべての解を求めることが出来ます。

その方針は、
(1)y≦3となるものは、(x,y,z)=(3,3,3),(3,3,6)
(2)(a,b,c)が解のとき、(b,c,bc-a)も解でc<bc-a
(3)逆に、(a,b,c)が解のとき、(ab-c,a,b)も解。
このとき、b≧aとなるが、b=aのときは、(x,y,z)=(3,3,3),(3,3,6)のときのみ。
b＞aのときは、繰り返すことでそれらに帰着される。

つまりは、(x,y,z)=(3,3,3)を出発して、
(a,b,c)　→　(b,c,bc-a)
を考えることで、すべての解が生成されます。

ペル方程式の生成理論は分かるのですが、ピタゴラス数や2006東大入試
において、解の生成する方法はどのように考えられたのでしょうか?

回答No.2

tecchan22 · ベストアンサー

＞ピタゴラス数
a^2+b^2=c^2
の自然数解（ただし、gcd(a,b,c)=1）は、(a,b,c)=(3,4,5)からすべての解が生成される。

こんなすごいのがあるんですね！驚きです。ちゃんと読んではいませんが・・。

＞(3)逆に、(a,b,c)が解のとき、(ab-c,a,b)も解。
このとき、b≧aとなるが、b=aのときは、(x,y,z)=(3,3,3),(3,3,6)のときのみ。
b＞aのときは、繰り返すことでそれらに帰着される。

これはちょっと違うんではないですか？
まず、なる→にゃる
それから、ａｂ－ｃは、ｂ以下にはなるが、ａ以下になるとは限らない。

実際、三つ目の（３，６，１５）から、前と後ろから作った
（３，１５，３×１５－６）＝（３，１５，３９）は解ですが、
ａｂ－ｃ＝３×１５－３９＝６となって、３と１５の間に来ます。

ｂ以下になることは、一応証明しておくと、
ｘ≦ｙのとき、ｚについて解いた
z = (1/2)[xy ± √{(x^2)(y^2)-4x^2-4y^2}]
のうち、マイナスの方がｙ以下になることを言えばよいですね。
これは、
(1/2)[xy - √{(x^2)(y^2)-4x^2-4y^2}]≦ｙ
⇔(x - 2)y ≦ √{(x^2)(y^2)-4x^2-4y^2}
⇔(x^2)(y^2) - 4xy^2 + 4y^2 ≦(x^2)(y^2)-4x^2-4y^2
⇔4x^2 + 8y^2 ≦ 4xy^2
⇔x^2 + 2y^2 ≦ xy^2
であるが、最後の式は、
x^2 + 2y^2 ≦ 3y^2 ≦ xy^2　　・・※
より成り立つ。
等号成立は、※において、ｘ＝ｙかつｘ＝３より、ｘ＝ｙ＝３
つまり、ｘ＝ｙ＝３でないとき（⇔ｙ≧４のとき）は、マイナスの方は、実際にｙより小さくなる。
よって、よって、任意の解（ａ，ｂ，ｃ）に対し、ｂ≧４のときは、
ａとｂとａｂ－ｃの組にすることにより、より「小さな」解になる。
「小さい」とは、正確には、最大元が小さくなる（或いは、三つの和が小さくなると言ってもよい）。
さて、永遠に小さくなり続けることは出来ないから、有限回の手続きで、ｂ＝３になる。
つまり、(3,3,3) または (3,3,6) になる。
少なくとももう一回やれば、(3,3,3) になる。

つまり、減らし続けて (3,3,3) にできるのだから、逆に、(3,3,3) から増やし続けて、任意の解を作れる。

すなわち、
＞つまりは、(x,y,z)=(3,3,3)を出発して、
(a,b,c)　→　(b,c,bc-a)
を考えることで、すべての解が生成されます。

でなく、
(x,y,z)=(3,3,3)を出発して、
(a,b,c)　→　(b,c,bc-a)　と
(a,b,c)　→　(a,c,ac-b)
を考えることで、すべての解が生成されます。

ですね。

回答ではないですが、それだけ指摘しておきます。

回答No.3

tecchan22

そうそう、東大入試のほうは単純に、
２変数を固定したとき、残りの１変数の二次方程式となるが、その２解の変換をしただけですね。
解と係数の関係から、（積の方を使うと分数式になるので）単純に和の方を使って。

たぶんそれだけじゃないでしょうか？

回答No.1

noname#77845

私の素人考えなので、間違っている可能性は「大」ですが…。

たしかに、
(a,b,c)　→　(b,c,bc-a)
で全ての解が生成されるかもしれませんが
全ての解を生成できることと無数にあることは同じではないでしょう。

全ての自然数は
A(1)=1
A(n+1)=A(n)+1　(n=1,2,3,4,…)
で生成できると思いますが「最後の自然数」はいくつですか？