ベストアンサー

位数ｅの最小性??

2003/10/15 14:51

お願いします！！！　ａ**ｎ≡１（mod p）ならばｅ|ｎ特にｅ|p-1である。という位数の証明についての質問です。ｎ=ｅｑ＋ｒとおいてａ**ｎ=(ａ**ｅ)**q・ａ**ｒより、ａ**ｒ≡１(mod p) というところまでは理解できたのですが、ｅの最小性よりｒ＝０というところが分かりません。位数の最小性ってどんなことですか？どうか教えてください。

mimi-koro
お礼率30% (9/30)

数学・算数
回答数1
ありがとう数0

みんなの回答 （1）
専門家の回答

質問者が選んだベストアンサー

ベストアンサー

jmh
ベストアンサー率23% (71/304)

2003/10/15 23:25 回答No.1

> 位数の最小性ってどんなことですか？ > 「位数の定義」を捕捉してみてください。

関連するQ&A

フェルマの小定理と位数に関する質問です

問題） pを素数とします。また、aをpで割り切ることのできない整数とします。この時、a^n≡1(mod p)となる最小の正整数nをmとすると p≡1(mod m)であることを証明したいです。証明) まず、フェルマの小定理より、 n=p-1のとき、a^n≡1(mod p)が成り立つことが分かります。よって、n=p-1がa^n≡1(mod p)となる最小の正整数nの場合、 m=p-1なので、明らかにp-1をmで割り切ることができるため、 p≡1(mod m)である。 (ここからが分かりません。。。) 次に、n=p-1がa^n≡1(mod p)となる最小の正整数nでない場合、つまり、m<p-1となるmが存在する場合、そのmによって、p≡1(mod m)が成り立つことを証明したいのですが、よく分かりません。どなたか詳しい方、ご教授お願いします。途中までの証明も不適切(不要)でしたら指摘してください。よろしくお願いします。
位数を求める問題で、次のように考えたんですが

<a>を位数が100の巡回群とするこの部分群<a^162>の位数を求めよ 162×m≡162(mod 1000)を解けばよい 162(m-1)≡0(mod 1000) また、<a^162>の位数をnとおくと、n=m-1なので 162n≡(mod 100) は満たさなければならないため、nは100の倍数故に、162×100＝16200 162 200=32400 162×300=48600 162×400=64800 162×500=81000 よって、n=500
位数を求める問題で、次のように考えたんですが

<a>を位数が1000の巡回群とするこの部分群<a^162>の位数を求めよ 162×m≡162(mod 1000)を解けばよい 162(m-1)≡0(mod 1000) また、<a^162>の位数をnとおくと、n=m-1なので 162n≡(mod 100) は満たさなければならないため、nは100の倍数故に、162×100＝16200 162 200=32400 162×300=48600 162×400=64800 162×500=81000 よって、n=500
位数を求めるプログラム

a^e≡1(mod n)を満たす最小の正の整数eを法nに関するaの位数です。これを法３１における１、２,...、３０の位数を求めるプログラムを以下のように作ったのですが位数は３１が素数なので３０の約数であるはずなのですが１１とか１２などが出てきてしまいます。問題のある箇所を教えてください。 #include <stdio.h> int main(void) { int h,i,j,k,n; //法３１ n=31; //1の位数は１ printf("1:1\n"); for(j=2;j<n;j++){ k=1; for(i=1;i<=(n-1)/2;i++){ //j^iを求める。 k=j*k; for(h=2;h*n<k;h++); //余りが１になるものを位数とする。 if(!((k-1)%((h-1)*n))){ printf("%d:%d\n",j,i); break; } } //i<=（n-1）/2までに余りが1あまるものがなければn-1（３０）を位数とする。 if(i>(n-1)/2)printf("%d:%d\n",j,n-1); } return 0; }
至急お願いします。代数学の問題です。

(1)(1+240Σ_(n=1,∞)σ3(n)・q^n)^3 - (1-504Σ_(n=1,∞) σ5(n)・q^n)^2 =(1+240X)^3 - (1-504Y)^2 ≡2^4・3^2・(5X+7Y) (mod12^3) これより、5・σ3(n)+7・σ5(n)≡0 (mod4) と≡0 (mod3) を証明せよ。定義 Γ ⊂ SL2(R) が合同部分群 ⇔ ∃n ∈ N s.t. Γ(n) ⊆ Γ ⊆ SL2(Z) SL2(Z)=Γ(1) (level1) (2)SL2(Z) / Γ(n) = SL2(Z/NZ) を証明せよ。 (3)(2)の位数が(N^3)・Π_(P|n) (1-1/(P^2))となることを証明せよ。よろしくお願い致します。
可換群Gの二つの元a,bのそれぞれの位数m,nが

可換群Gの二つの元a,bのそれぞれの位数m,nが互いに素ならば、abの位数はmnである。この証明が分からないです。あと、位数m,nが互いに素なようになる可換群はどのようなものがあるでしょうか？例えばmodの世界において考えると、 mod nの時、位数はn-1の約数になるので互いに素にはならないと思うのです。そもそもが間違えているかもしれません。優しく教えていただければ幸いです。よろしくお願いします。
巡回群について

「Gを位数nの巡回群とする．このとき，Gの部分群の位数はnの約数で，各約数に対してただ一つ存在する．」この証明でいくつか分からなかったので教えてください．（以下証明） G=<g>とし，m|nであるとする．ここでn/m=cとおくと，<g^c>は位数mの巡回部分群になる．また，これと異なる位数mの巡回部分群Sが存在すると仮定する． g^k∈S （kはこれを満たす最小の正整数）とすると，剰余の定理から n=qk+r （0<q∈Z，0≦r<k）となるq,rが存在する．このとき， g^r=g^(n-qk)=g^n(g^(-k))^q∈S で，kの最小性よりr=0を得る．よってn=qkとなり，Sの位数はqとなる．－(1) したがってm=qとなり，S=<g^c>．－(2) 以上より，nの約数に対して，ただひとつの巡回部分群が存在する．（証明終）この証明の最後の， (1)：Sの位数はqとなる (2)：S=<g^c> の部分がわかりませんでした． (1)について (g^k)^q=g^qk=g^n=e となりますが，これより「Sの位数はq」ということですか？ (2)については包含関係を示しているのでしょうか？その辺がよくわかりませんでした．長文申し訳ありませんがよろしくお願いいたします．
元の位数

Ｇを可換群、a∈Ｇの位数をｎ、b∈Ｇの位数をｍとします。このとき位数がｎ、ｍの最小公倍数である元が存在することを示したいのですがabがその元でしょうか？またそれが正しいときabの位数がｎ、ｍの最小公倍数になることはどのように示したらいいのでしょうか？
元の位数について

Gを群とし，a,b∈Gとする．このとき， aの位数＝5，aba^-1=b^2，b≠e とするとき，bの位数を求めよという問題です．（答え．31） b^31=eとなることは示せたのですが，位数が31であるということを言うには，31がb^m=eを満たす最小の整数であることを言わないといけませんよね．ここがうまく示せませんでした．よろしくお願い致します・
離散数学の証明問題

離散数学の証明問題合同でないことを≡×と表します。 Pを素数とし、a≡×0(mod p)とする。また、aの位数をdとする。このとき、次のことを示せ。 (1)整数nに対して、a^n≡1(mod p)であるならば、かつそのときに限り、d|n (2)dはp-1の約数である。 (3)整数i,jに対してa^i≡a^j　(mod p)であるならば、かつそのときに限り、i≡j(mod p) (1)はFermatの小定理を使うと思うのですが、いまいち解法が浮かびません。 (2)はFermatの小定理から自明に思えますが、厳密に証明しないといけないみたいです。 (3)は証明方法がまったく分かりません。分かる方、証明お願いします。
群の位数の問題なんですが？

位数が偶数の群は位数２の元を持つんでしょうか？群が位数２ｎの巡回群＜ａ＞ならば　　　　　　　　ａ＾ｎを考えれば位数２の元になります。それ以外に関しては、位数が小さい群ならばなんとなくイメージできるんですが一般の場合どうなるかうまく証明できません。どなたかもしおひまであればお教え願えないでしょうか。よろしくお願いします。
証明の解説

証明ｎ＝ｐｑ（pとqは異なる素数）　rはgcd(r,Φ(n))=1 を満たす。　ｆ（a）=a^rで定義されたZn自身からの写像は全単射である。またこの写像の逆関数はｇ（ｂ）＝ｂ＾ｒ’であたえられる。　ｒ’はｒｒ’≡１(modΦ(n)を満たす。この定理の証明をどなたか教えてください！本には本には rr' = 1+kΦ(n). g(f(a)) = f(g(a)) = a^rr' = a×a^kΦ（n）. Φ（ｎ） = Φ(p)Φ(q) = (p-1)(q-1) ⇒g(f(a)) = a×a^(p-1)k(q-1) 「 If a ≡ 0 (mod p), then g(f(a)) ≡ 0 (mod p). Otherwise, we may apply フェルマー定理 to conclude that a^(p-1)k(q-1) ≡ 1 (mod p) In either case, we have g(f(a)) ≡ a (mod p).同様に　g(f(a)) ≡ a (mod q)」よって中国剰余の定理よりg(f(a)) ≡ a (mod pq) と書いてありました。「」の部分がよくわかんないです。その部分が何故そうなるのか、何を言っているのか詳しく教えてください。違うやり方の証明でもいいです。 RSA algorithmの項目に出てきたんでしつもんしました。ぜひ回答よろしくお願いします
【代数学】位数2の元

代数学の本を読んでいて、練習問題の解説に以下のような記述がありました： pを素数とするとき、Z/pZは体だから、x^2≡1（mod p）なる元はpを法として-1ただ1つ。乗法群(Z/pZ)*において、先にみたように位数2の元はただ1つだから…（以下省略。Zは整数全体のなす環）この解説で「Z/pZは体だから、x^2≡1（mod p）なる元はpを法として-1ただ1つ」（*）という部分が理解できません。ただし、その後の文で「乗法群の位数2の元はただ1つ」とあるので、（*）は1以外でそのようなxは-1だけ（mod p）という意味ではないかと考えています。そこで以下の質問をさせていただきたいです。１．一般に、体の乗法群には位数2の元は1つだけあるといえるでしょうか。その場合、なぜそういえるのかの説明またはヒントをいただけないでしょうか。２．１の答えがnoの場合、反例があれば教えていただきたいです。よろしくお願いいたします。
最小値の求めかた

1辺の長さ6の立方体ABCD(Aは左下、Bは右下、Cは右上）-EFGH（Eは左下、Fは右下、Gは右上）がある。点Pは辺BC上の点、点QはEQ＝2となる辺EF上の点である。 (1) 点Rを平面AEGC上にとるとき、FR＋RPの長さの最小値の求めかたが分からないので教えてください。例えば、ACを対称軸にするとｐ’はDAの中点までは考えたのですがわかりません。 Rもどこにおけばいいのか分かりません。
部分群の位数の形は?

自然数n>1に於いて　m n=Π(pi)^(ri) (m,ri∈N,　p1,p2,…,pmは相異なる素数) 　i=1 とする。位数nの群の部分群の位数は (pi)^(ri) (m,ri∈N,piは素数 (i=1,2,…,m)) のみである。 (つまり、(pi)^(ri)pj^(rj)といった形の位数を持つ事はない) という主張なのですがこの命題は正しいといっていいでしょうか?
剰余群

剰余群についての質問です。説明の準備として以下を定義する。 n = Π(p|n) p^e(p) (nの素因数分解） K = {a∈(Z/nZ)* |gcd(n,a) = 1, a^m ≡ ±1 mod p^e(p),∀p|n} M = {a∈(Z/nZ)* |gcd(n,a) = 1, a^m ≡ 1 mod n} とします。　(本来は、mに意味があるのですが、説明が煩雑になるため、ここでは適当な自然数とみてください) KとMの定義より、　K⊃M. また　a∈K　⇒ a^2 ⊂ M (証明ははぶく) ------ここからが質問このとき K/M ∋ ∀a + M ⇒ (a + M)^2 = 1である。つまり(K/M)∋a+M の位数は2である。と続くのですが、 K/Mとはどのような集合を考えたのでしょうか？ a + M という剰余類も理解できませんでした。アドバイスいただけないでしょうか。よろしくお願いします。
Sylowの定理と位数14の群

G：位数14の群 N：Gの7-Sylow部分群 H：Gの2-Sylow部分群とし，写像f：H→Aut(N)をｆ(h)=(n↦hnh^-1) で定める．このとき， (1)Imf={e}⇒Gは巡回群 (2)fが単射⇒Gは二面体群と同型であることを示せという問題なのですが，以下のように示しました． (∵) Sylowの定理より，Gの7-Sylow部分群の個数は1なので，NはGの正規部分群である．またN,Hの位数はそれぞれ7,2なのでともに巡回群となる．よってN,Hの生成元をそれぞれa,bとすると，a^7=e，b^2=e．一方，N∩Hの位数は2と7の公約数であることから1．ゆえにN∩H={e}．したがって G=NH={a^i b^j | a^7=e,b^2=e} (Gの任意の元はN,Hの元で一意に表せる) また，NはGの正規部分群であることから，ある整数mが存在して，bab^(-1)=a^mとなる．ここで， (a^m)^m=(bab^(-1))^m=b(a^m)b^(-1)=(b^2)a(b^(-2))=a すなわち，a^(m^2-1)=eとなるので，m^2-1は7で割り切れる．ゆえにある整数lが存在して， m^2-1=(m+1)(m-1)=7l と書けるので，m=7l±1． (1) m=7l+1のとき bab^(-1)=a^m=a^(7l+1)=a ∴ab=ba よってGはN,Hで直積分解でき， G≒N×H≒Z/14Z （≒は同型の意）ゆえにGは巡回群． (2) m=7l-1のとき bab^(-1)=a^m=a^(7l-1)=a^(-1) よってGは二面体群と同型． (証明終) こんな感じで(1),(2)を一気に示したのですが，(1),(2)の仮定を一切使っておりません．(1)については別個に仮定を使って示せましたが，(2)はどこで仮定を使ってよいかわかりませんでした．ご教示願います．
位数45の群が位数9の正規部分群をもつことの証明はどうすればいいのでし

位数45の群が位数9の正規部分群をもつことの証明はどうすればいいのでしょうか？シローの定理が必要だとおもうのですが。。。 <シローの定理> (1)p^r | |G| ==> Gは位数p^rの部分群をもつよってシローp-部分群は存在する (2)H: Gのp-部分群とすれば Hを含むシローp-部分群が存在する (3)シローp-部分群は互いにG共役 (4)シローp-部分群の個数は 1+k*p の形 (k∈Z,k≧0)
p,qが素数のときn^{(p-1)(q-1)+1}≡n (mod pq

p,qが素数のときn^{(p-1)(q-1)+1}≡n (mod pq)になりますか? nがpともqとも互いに素であるときは、 Fermatの小定理を使えばn^{(p-1)(q-1)}≡1 (mod pq) が言えるので、標記の命題は言えると思うのですが pまたはqのいずれか一方がnと互いに素でないとき n^{(p-1)(q-1)}≡1 (mod pq)は言えないものの n^{(p-1)(q-1)+1}≡n (mod pq)は言えてしまっているように思えます (私がやったケースはp=3,q=11の場合です)。これは正しいのでしょうか? 正しいとしたら何故ですか?
乗群の位数とラグランジェの定理

(mod p)の剰余類で乗群G*をつくるとき，（pは素数） 0を含む剰余類は除くので，|G*|=p-1かと思います． a ∈ G*で，巡回部分群Hを生成すれば， H=G*であることも確認できます．ただ，ここでどうしてもわからないことがあります． G*の位数も，Hの位数もp-1で，-1されるために一般に素数にはなりません．ラグランジェの定理から位数が素数の有限群が真部分群を持たないことがわかりますが， G*の位数は，p-1で素数にならないため，真部分群を持ってもよさそうな気がします．どこに間違いがあるのでしょうか？

位数ｅの最小性??

質問者が選んだベストアンサー

関連するQ&A

フェルマの小定理と位数に関する質問です

位数を求める問題で、次のように考えたんですが

位数を求める問題で、次のように考えたんですが

位数を求めるプログラム

至急お願いします。代数学の問題です。

可換群Gの二つの元a,bのそれぞれの位数m,nが

巡回群について

元の位数

元の位数について

離散数学の証明問題

群の位数の問題なんですが？

証明の解説

【代数学】位数2の元

最小値の求めかた

部分群の位数の形は?

剰余群

Sylowの定理と位数14の群

位数45の群が位数9の正規部分群をもつことの証明はどうすればいいのでし

p,qが素数のときn^{(p-1)(q-1)+1}≡n (mod pq

乗群の位数とラグランジェの定理

注目のQ&A

カテゴリ
一覧

専門家に質問してみよう
専門家登録

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVE セレクト

位数ｅの最小性??

質問者が選んだベストアンサー

関連するQ&A

フェルマの小定理と位数に関する質問です

位数を求める問題で、次のように考えたんですが

位数を求める問題で、次のように考えたんですが

位数を求めるプログラム

至急お願いします。代数学の問題です。

可換群Gの二つの元a,bのそれぞれの位数m,nが

巡回群について

元の位数

元の位数について

離散数学の証明問題

群の位数の問題なんですが？

証明の解説

【代数学】位数2の元

最小値の求めかた

部分群の位数の形は?

剰余群

Sylowの定理と位数14の群

位数45の群が位数9の正規部分群をもつことの証明はどうすればいいのでし

p,qが素数のときn^{(p-1)(q-1)+1}≡n (mod pq

乗群の位数とラグランジェの定理

注目のQ&A

カテゴリ 一覧

専門家に質問してみよう 専門家登録

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVE セレクト

カテゴリ
一覧

専門家に質問してみよう
専門家登録