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元の位数について
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要は、b^k=1となるkがあった時、bの 位数はkの約数であることを言えば良いのです。 http://okwave.jp/qa/q6362401.html も全く同じですが、kがbの位数mで割り切れない、 つまりk=mq+r, 1≦r<mなるq,rが存在するとして 矛盾をしめせばいいです。
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補足
> tmpname さん 一般に，o(a)=n（o(a)はaの位数）としたとき，任意の整数kに対し， a^k=e ⇒ n|k を示せばいいわけですよね． a^k=eとする．このとき，剰余の定理より， k=qn+r となる整数q,r（0≦r<n）が存在します．ここで， a^r=a^(k-qn)=a^k・a^(-qn)=a^k=e であるが，nの最小性より，r=0．したがってk=qn． ゆえにn|k． これを用いると，今，b^31=eとなっていることから， o(b)は31の約数となっていなければならないわけですね． したがってo(b)=1,31であるが，b≠eであることよりo(b)≠1． よってo(b)=31ということでしょうか？